Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AD、BC的延长线交于点F，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）当AB＝AC时，若CE＝4，EF＝6，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）DE是⊙O的切线（2）

【解析】

（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；（2）根据余角的性质和等腰三角形的性质得到∠F＝∠EDF，根据等腰三角形的性质得到DE＝EF＝3，根据勾股定理得到CD的长，再由相似三角形的性质即可得到结论．

（1）如图，连接BD，

∵∠BAD＝90°，

∴点O必在BD上，即：BD是直径，

∴∠BCD＝90°，

∴∠DEC+∠CDE＝90°，

∵∠DEC＝∠BAC，

∴∠BAC+∠CDE＝90°，

∵∠BAC＝∠BDC，

∴∠BDC+∠CDE＝90°，

∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，

∵点D在⊙O上，

∴DE是⊙O的切线；

（2）∵∠BAF＝∠BDE＝90°，

∴∠F+∠ABC＝∠FDE+∠ADB＝90°，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵∠ADB＝∠ACB，

∴∠F＝∠EDF，

∴DE＝EF＝6，

∵CE＝4，∠BCD＝90°，

∴∠DCE＝90°，

∴CD＝ ，

∵∠BDE＝90°，CD⊥BE，

∴△CDE∽△CBD，

∴，

∴BD，

∴⊙O的半径＝．