Question

【题目】已知，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，E为边AC任意一点，连接BE．

（1）如图1，若∠ABE=15°，O为BE中点，连接AO，且AO=1，求BC的长；

（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE=CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG．若AG平分∠CAD，求证：AH=AC．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）见解析

【解析】

（1）如图1中，在AB上取一点M，使得BM=ME，连接ME．，设AE=x，则ME=BM=2x，AM=x，根据AB+AE=BE，可得方程(2x+x)+x=2，解方程即可解决问题．（2）如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．首先证明AM=MC，再证明AH=AM即可解决问题．

本题解析：（1）如图1中，在AB上取一点M，使得BM=ME，连接ME．

在Rt△ABE中，∵OB=OE，

∴BE=2OA=2，

∵MB=ME，

∴∠MBE=∠MEB=15°，

∴∠AME=∠MBE+∠MEB=30°，设AE=x，则ME=BM=2x，AM=x，

∵AB2+AE2=BE2，

∴（2x+x）2+x2=22，

∴x=（负根已经舍弃），

∴AB=AC=（2+），

∴BC=AB=+1．

（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．

∵BE⊥AP，

∴∠AHB=90°，

∴∠ABH+∠BAH=90°，

∵∠BAH+∠PAC=90°，

∴∠ABE=∠PAC，

在△ABE和△CAP中，

，

∴△ABE≌△CAP，

∴AE=CP=CF，∠AEB=∠P，

在△DCF和△DCP中，

，

∴△DCF≌△DCP，

∴∠DFC=∠P，

∴∠GFE=∠GEF，

∴GE=GF，∵GM⊥EF，

∴FM=ME，

∵AE=CF，

∴AF=CE，

∴AM=CM，

在△GAH和△GAM中，

，

∴△AGH≌△AGM，

∴AH=AM=CM=AC．