Question

如图1，已知菱形ABCD的边长为2，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D的坐标为（- ，3），抛物线y=ax²+b（a≠0）经过AB、CD两边的中点。
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF，设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜3 ）。
①是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围。（写出答案即可）

Answer 1

解：（1）由题意得AB的中点坐标为（-3 ，0），CD的中点坐标为（0，3），   分别代入y=ax2+b，得，解得，， ∴这条抛物线的函数解析式为y=-x2+3；                                     （2）①存在。如图2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC=， ∴， ∴∠C=60°，∠CBE=30°， ∴EC=BC=，DE=，                                 又∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠C=180°， ∴∠ADC=180°-60°=120° 要使△ADF与△DEF相似，则△ADF中必有一个角为直角， （I）若∠ADF=90 °，∠EDF=120°-90°=30°， 在Rt△DEF中，DE=，得EF=1，DF=2， 又∵E（t，3），F（t，-t2+3）， ∴EF=3-（-t2+3）=t2， ∴t2=1， ∵t＞0， ∴t=1，                                     此时， ∴， 又∵∠ADF=∠DEF， ∴△ADF∽△DEF；   （II）若∠DFA=90°，可证得△DEF∽△FBA，则， 设EF=m，则FB=3-m， ∴，即m2-3m+6=0，此方程无实数根， ∴此时t不存在；                                         （III）由题意得，∠DAF＜∠DAB=60°， ∴∠DAF≠90°，此时t不存在，                               综上所述，存在t=1，使△ADF与△DEF相似； ②。