Question

13．△ABC中，AD是BC边上的高，BD=3，CD=1，AD=2，P、Q、R分别是BC、AB、AC边上的动点，则△PQR周长的最小值为$\frac{32\sqrt{65}}{65}$．

Answer 1

分析 如图1中，作P点关于AB的对称点P′，作P点关于AC的对称点P″，连接P′P″，与AB交于点Q′，与AC交于点R′，连接PP′交AB于M，连接PP″交AC于N，此时△PQ′R′的周长最小，这个最小值=P′P″，再证明P′P″=2MN，MN最小时，△PQR周长最小，利用图2证明当点P与点D重合时MN最小，在图3中利用相似三角形的性质求出MN的最小值即可解决问题．

解答 解：如图1中，

作P点关于AB的对称点P′，作P点关于AC的对称点P″，连接P′P″，与AB交于点Q′，与AC交于点R′，连接PP′交AB于M，连接PP″交AC于N，
此时△PQ′R′的周长最小，这个最小值=P′P″，
∵PM=MP′，PN=NP″，
∴P′P″=2MN，
∴当MN最小时P′P″最小．
如图2中，

∵∠AMP=∠ANP=90°，
∴A、M、P、N四点共圆，线段AP就是圆的直径，MN是弦，
∵∠MAN是定值，
∴直径AP最小时，弦MN最小，
∴当点P与点D重合时，PA最小，此时MN最小．
如图3中，

∵在RT△ABD中，∠ADB=90°，AD=2，DB=3，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
在RT△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=2，CD=1，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴$\frac{1}{2}$•AC•DN=$\frac{1}{2}$•DC•AD，
∴DN=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，AN=$\sqrt{A{D}^{2}-D{N}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵∠MAD=∠DAB，∠AMD=∠ADB，
∴△AMD∽△ADB，
∴$\frac{AM}{AD}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴AD²=AM•AB，同理AD²=AN•AC，
∴AM•AB=AN•AC，
∴$\frac{AM}{AC}$=$\frac{AN}{AB}$，
∵∠MAN=∠CAB，
∴△AMN∽△ACB，
∴$\frac{MN}{BC}$=$\frac{AN}{AB}$，
∴$\frac{MN}{4}$=$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{13}}$，
∴MN=$\frac{16\sqrt{65}}{65}$，
∴△PQR周长的最小值=P′P″=2MN=$\frac{32\sqrt{65}}{65}$．
故答案为$\frac{32\sqrt{65}}{65}$．

点评 此题主要考查了轴对称-最短问题、圆、相似三角形的判定和性质等知识，根据两点之间线段最短的知识找到P点的位置是解答此题的关键，题目比较难，属于中考填空题中的压轴题．