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6.如图,已知边长为4的正方形ABCD,点E是边AB的中点,点O是线段AE上的一个动点(O不与A,E重合),以O为圆心,OB为半径的圆与边AD相交于点M,过点M作⊙O的切线交DC于点N,连接OM,ON.
(1)证明:BC是⊙O的切线;
(2)问OB为何值时,⊙O经过AD的中点?
(3)△DMN的周长是否一个定值?请说明理由.

分析 (1)由正方形的性质得到∠ABC=90°,根据切线的判定即可证得结论;
(2)设OB=OM=x.则AO=4-x,AM=2,根据勾股定理得x2=22+(4-x)2,解方程即可求得结论;
(3)如图,作BP⊥MN于点P,根据切线的想知道的∠PMB=$\frac{1}{2}$∠MOB,∠CBM=$\frac{1}{2}$∠MOB,根据平行线的性质得到∠CBM=∠AMB,于是得到∠AMB=∠PMB,根据切线的性质得到AM=MP,BP=AB=BC,PN=CN,于是得到结论.

解答 解:(1)∵正方形ABCD,
∴∠ABC=90°,
∵OB为半径,
∴BC是⊙O的切线;

(2)∵正方形ABCD,
∴∠A=90°,AB=AD=4,
∵M是AD的中点,
设OB=OM=x.则AO=4-x,AM=2,
在Rt△AOM中,x2=22+(4-x)2
解得:x=$\frac{5}{2}$,
∴OB=$\frac{5}{2}$时,⊙O经过AD的中点;

(3)如图,作BP⊥MN于点P,
∵MN,BC是⊙O的切线,
∴∠PMB=$\frac{1}{2}$∠MOB,∠CBM=$\frac{1}{2}$∠MOB,
∵AD∥BC,
∴∠CBM=∠AMB,
∴∠AMB=∠PMB,
在Rt△MAB和Rt△MPB中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠BPM=∠BAM}\\{∠PMB=∠AMB}\\{BM=BM}\end{array}\right.$
∴Rt△MAB≌Rt△MPB(AAS)
∴AM=MP,BP=AB=BC,
在Rt△BPN和Rt△BCN中,
$\left\{\begin{array}{l}{BP=BC}\\{BN=BN}\end{array}\right.$
∴Rt△BPN≌Rt△BCN(HL)
∴PN=CN,
MN=MP+PN=AM+CN,
∴DM+DN+MN=DM+DN+AM+CN=(AM+DM)+(DN+CN)=AD+DC=8,
故△DMN的周长是一个定值8.

点评 本题是圆的综合题目,考查了切线的性质和判定、正方形的性质、勾股定理,方程,全等三角形的判定与性质等知识;本题主要考查了圆的切线及全等三角形的判定和性质,关键是作出辅助线利用三角形全等证明.

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