Question

已知：y关于x的函数y＝(k－1)x²－2kx＋k＋2的图象与x轴有交点．

(1)求k的取值范围；

(2)若x₁，x₂是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k－1)x₁²＋2kx₂＋k＋2＝4x₁x₂．

①求k的值；

②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)当k＝1时，函数为一次函数y＝－2x＋3，其图象与x轴有一个交点．(1分) 　　当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点， 　　令y＝0得(k－1)x2－2kx＋k＋2＝0． 　　△＝(－2k)2－4(k－1)(k＋2)≥0，解得k≤2．即k≤2且k＝1．(2分) 　　综上所述，k的取值范围是k≤2．(3分) 　　(2)①∵x1≠x2，由(1)知k＜2且k＝1． 　　由题意得(k－1)x12＋(k＋2)＝2kx1．(4分) 　　将(*)代入(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2中得： 　　2k(x1＋x2)＝4x1x2．(5分) 　　又∵x1＋x2＝，x1x2＝， 　　∴2k·＝4·．(6分) 　　解得：k1＝－1，k2＝2(不合题意，舍去)． 　　∴所求k值为－1．(7分) 　　②如图，∵k1＝－1，y＝－2x2＋2x＋1＝－2(x－)2＋． 　　且－1≤x≤1．(8分) 　　由图象知：当x＝－1时，y最小＝－3；当x＝时，y最大＝．(9分) 　　∴y的最大值为，最小值为－3．(10分)