Question

【题目】已知：如图，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC＝∠ODB．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）当AB＝10，BC＝8时，求BD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）从切线的判定为目标，来求BD⊥AB，连接AC通过相似来证得；

（2）通过已知条件和第一步求得的三角形相似求得BD的长度．

（1）证明：连接AC，

∵AB是⊙O的直径

∴∠ACB＝90°

又∵OD⊥BC

∴AC∥OE

∴∠CAB＝∠EOB

由对的圆周角相等

∴∠AEC＝∠ABC

又∵∠AEC＝∠ODB

∴∠ODB＝∠OBC

∴△DBF∽△OBD

∴∠OBD＝90°

即BD⊥AB

又∵AB是直径

∴BD是⊙O的切线．

（2）∵OD⊥弦BC于点F，且点O圆心，

∴BF＝FC

∴BF＝4

由题意OB是半径即为5

∴在直角三角形OBF中OF为3

由以上（1）得到△DBF∽△OBD

∴

即得BD＝．