Question

设x₁、x₂是方程2x²-4mx+2m²+2m-2=0的两个实数根，当m=

1

4

时，

x

2 1

+

x

2 2

有最小值，最小值是

15

8

．

Answer 1

分析：先根据根与系数的关系，可求x₁+x₂，x₁x₂的值，再用完全平方公式对

x

2 1

+

x

2 2

进行转化，然后把x₁+x₂，x₁x₂的值代入，从而可得x₁²+x₂²=2m²-3m+2，再根据求最值的公式易求m的值，以及最小值．

解答：解：∵x₁、x₂是方程2x²-4mx+2m²+m-2=0的两个实数根，
∴△=16m²-4×2（2m²+m-2）≥0，即2-m≥0，解得，m≤2，
∴x₁+x₂=-

b

a

=2m，x₁x₂=

c

a

=

2m2+m-2

2

，
∵

x

2 1

+

x

2 2

=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，
∴x₁²+x₂²=4m²-（2m²+m-2）=2m²-m+2，
∵

x

2 1

+

x

2 2

有最小值，
∴当m=-

b

2a

=-

-1

2×2

=

1

4

，最小值=

4ac-b2

4a

=

4×2×2-1

4×2

=

15

8

．
故答案是

1

4

；

15

8

．

点评：本题考查了根与系数的关系，解题的关键是使用完全平方公式对式子进行转化．