Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F．

（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若∠F=30°，EB=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图连接OD．

∵四边形OBEC是平行四边形，

∴OC∥BE，

∴∠AOC=∠OBE，∠COD=∠ODB，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∴∠DOC=∠AOC，

在△COD和△COA中，

，

∴△COD≌△COA，

∴∠CAO=∠CDO=90°，

∴CF⊥OD，

∴CF是⊙O的切线．

（2）

解：∵∠F=30°，∠ODF=90°，

∴∠DOF=∠AOC=∠COD=60°，

∵OD=OB，

∴△OBD是等边三角形，

∴∠DBO=60°，

∵∠DBO=∠F+∠FDB，

∴∠FDB=∠EDC=30°，

∵EC∥OB，

∴∠E=180°﹣∠OBD=120°，

∴∠ECD=180°﹣∠E﹣∠EDC=30°，

∴EC=ED=BO=DB，

∵EB=4，

∴OB=OD═OA=2，

在RT△AOC中，∵∠OAC=90°，OA=2，∠AOC=60°，

∴AC=OAtan60°=2 ，

∴S阴=2S△AOC﹣S扇形OAD=2× ×2×2 ﹣ =2 ﹣ ．

【解析】（1）欲证明CF是⊙O的切线，只要证明∠CDO=90°，只要证明△COD≌△COA即可．（2）根据条件首先证明△OBD是等边三角形，∠FDB=∠EDC=∠ECD=30°，推出DE=EC=BO=BD=OA由此根据S阴=2S△AOC﹣S扇形OAD即可解决问题．
本题考查切线的判定、全等三角形的判定和性质、扇形的面积公式、等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，注意寻找特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．