Question

16．在等边△ABC中，AB=8，P为AB的中点，小慧拿着含60°角的透明三角板，使60°角的顶点落在点P，将三角形绕点P旋转，三角形两边与线段AC交于点F，与射线BC交于点E．
（1）如图1，当∠APF=60°时，AF•BE=16，如图2，当∠APF=30°时，AF•BE=16；
（2）如图3，当30°＜∠APF＜60°时，小慧多次尝试，得到一个猜想，AF•BE的值是一个常数，你认为小慧的猜想正确吗？若正确，请写出这个常数并给出证明，若不正确，请说明理由．
（3）如图4，当0°＜∠PAF＜30°时，连结EF，设EF=m，请用含m的式子表示PF•PE的值．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得出AP=BP=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4，当∠APF=60°时，证出△APF是等边三角形，得出AF=AP=4，再证明△PBE是等边三角形，得出BE=BP=4，因此AF•BE=16．当∠APF=30°时，证明△APF是直角三角形，得出AF=$\frac{1}{2}$AP=2，求出BE=BC=AB=8，得出AF•BE=2×8=16即可；
（2）证出∠APF=∠BEF，得出△APF～△BEF，得出$\frac{AF}{AP}=\frac{PB}{BE}$，即可得出结论；
（3）由旋转易证：∠APF=∠PEF，证明△APF～△PPE，得出$\frac{PF}{AP}=\frac{EF}{PE}$，即可得出结论．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，P为AB的中点，
∴AP=BP=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4，
如图1，当∠APF=60°时，
∵∠PAF=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AF=AP=4，
∵∠FPE=60°，
∴∠EPB=180°-∠APF-∠FPE=180°-60°-60°=60°，
∵∠PBE=60°，
∴△PBE是等边三角形，
∴BE=BP=4，
∴AF•BE=4×4=16．
如图2，当∠APF=30°时，
∵∠PAF=60°，
∴△APF是直角三角形，
∴AF=$\frac{1}{2}$AP=2，
∵BE=BC=AB=8，
∴AF•BE=2×8=16；
故答案为：16，16．
（2）如图3，当30°＜∠APF＜60°时，小慧的猜想是正确的．这个常数是16．理由如下：
∵∠EPB=180°-∠APF-∠FPE=180°-∠APF-60°=120°-∠APF，
又∵∠EPB=180°-∠PBE-∠BEP=180°-60°-∠BEF=120°-∠BEF，
∴∠APF=∠BEF，
∴△APF～△BEF，
∴$\frac{AF}{AP}=\frac{PB}{BE}$，
∴AF•BE=AP•PB=4×4=16（常数）．
（3）由旋转的性质得出：∠APF=∠PEF，
∵∠FAP=∠FPE=60°，
∴△APF～△PPE，
∴$\frac{PF}{AP}=\frac{EF}{PE}$，
∴PF•PE=AP•EF=4m．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定和等边三角形的性质，注意对全等三角形和等边三角形的应用．