Question

（1）若方程x²+2px-q=0（p，q是实数）没有实数根，求证：p+q＜

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；
（2）试写出上述命题的逆命题；
（3）判断（2）中的逆命题是否正确．若正确请加以证明，若不正确，请举一反例说明．

Answer 1

分析：（1）方程x²+2px-q=0（p，q是实数）没有实数根，把它理解为y=x²+2px-q的函数值恒大于0，则当x=-

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时，y=x²+2px-q＞0，即

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-p-q＞0，即可证明；
（2）交换题设与结论，写出逆命题；
（3）通过设p=q=0，说明（2）中的逆命题不正确．

解答：（1）证明：∵方程x²+2px-q=0（p，q是实数）没有实数根，
∴y=x²+2px-q的函数值恒大于0，
所以当x=-

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时，y=x²+2px-q＞0，即

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-p-q＞0，
所以p+q＜

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．
（2）（1）的逆命题为：若p+q＜

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（p，q是实数），求证：方程x²+2px-q=0没有实数根．
（3）（2）中的逆命题不正确．
如：当p=q=0，满足p+q＜

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，但原方程为x²=0有两个相等的实数根，所以（2）中的逆命题不正确．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）与二次函数的关系，也考查了逆命题与原命题的关系和通过举反例说明问题的方法．