Question

如图①，已知△ABC和△ACD是两个全等的等边三角形，用它们拼成四边形ABCD．
（1）四边形ABCD是什么特殊的四边形，说明理由；
（2）分别延长△ABC的边AB，AC到M，N，使AM=AN，连接MN得到△AMN，再将△AMN绕点A按逆时针方向旋转40°，其边与四边形ABCD的两边BC，CD分别相交于点E，F，请你探索线段BE与CF之间的数量关系，并说明理由；
（3）按（2）的操作，若将△AMN绕点A按逆时针方向旋转α角（60°＜α＜80°），其边与四边形ABCD的两边BC，CD的延长线分别相交于点E，F，在图②中画出图形，判断此时（2）中的结论是否成立，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据四条边都相等的四边形是菱形解答；
（2）根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠B=∠ACD=60°，根据旋转的性质可得∠BAE=∠CAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△ACF全等，再根据全等三角形对应边相等即可得解；
（3）作出图形，然后与（2）的求解思路相同．

解答：解：（1）四边形ABCD是菱形．
理由如下：∵△ABC和△ACD是两个全等的等边三角形，
∴AB=BC=AC，
AD=CD=AC，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形；

（2）BE=CF．
理由如下：∵△ABC和△ACD是两个全等的等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACD=60°，
由旋转的性质，∠BAE=∠CAF=40°，
∵在△ABE和△ACF中，

∠B=∠ACD=60° AB=AC ∠BAE=∠CAF

，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF；

（3）如图，BE=CF．
理由如下：∵△ABC和△ACD是两个全等的等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACD=60°，
由旋转的性质，∠BAE=∠CAF，
∵在△ABE和△ACF中，

∠B=∠ACD=60° AB=AC ∠BAE=∠CAF

，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF．

点评：本题考查了旋转的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质找出三角形全等的条件是解题的关键，此类题目各小问求解的思路基本相同是最大的特点．