Question

如图，AB为弦，直线BC是⊙O的切线，OC交AB于P，PC=BC．                                   
（1）求证：OA⊥OC；
（2）已知⊙O的半径为3，CP=4，求弦AB的长．

Answer 1

（1）证明：连接OB，
∵OA=OB，CP=CB，
∴∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，
∵∠APO=∠CPB，
∴∠APO=∠CBP，
∵CB切⊙O于B，
∴∠OBC=90°，
即∠A+∠APO=∠CBP+∠OBA=90°，
∴∠AOC=180°-90°=90°，
∴OA⊥OC．

（2）解：延长CO交⊙O于Q，
∵CP=CB，CP=4，
∴BC=4，
∵CB是⊙O的切线，CMQ是圆O的割线，
由切割线定理得：CB²=CM•CQ，
∴4²=CM（CM+3+3），
解得：CM=2，
∴PM=2，OP=3-2=1，
在△AOP中，由勾股定理得：AP==，
由相交弦定理得：AP×BP=MP×PQ，
∴×BP=2×（3+1），
∴BP=，
∴AB=AP+BP=+=．
分析：（1）连接OB，根据等腰三角形性质求出∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，推出∠A=∠OBP，∠APO=∠PBC，根据切线性质求出∠OBC=90°，代入即可求出答案；
（2）延长CO交⊙O于Q，根据切割线定理求出CM，求出PM、OP，根据勾股定理求出AP，根据相交弦定理求出BP即可．
点评：本题综合考查了圆的切线，相交弦定理，切割线定理，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的运用，知道圆的切线，连接圆心和切点，题目综合性比较强，通过做此题培养了学生综合运用定理进行推理和计算的能力．