Question

1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，AE⊥AB交BC于点E．若S_△ABC=m²+9n²，S_△ADE=mn，则m与n之间的数量关系是（　　）

• A． m=3n
• B． m=6n
• C． n=3m
• D． n=6m

Answer 1

分析 设AD=x，由等腰三角形性质知∠B=30°，利用三角函数求得BD=$\frac{AD}{tanB}$=$\sqrt{3}$x、AB=2AD=2x，BC=2BD=2$\sqrt{3}$x，在Rt△ABE中求得BE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x知DE=BE-BD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，由$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△ADE}}$=6得m²+9n²=6mn，即（m-3n）²=0，可知答案．

解答 解：设AD=x，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=30°，
在Rt△ABD中，BD=$\frac{AD}{tanB}$=$\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{3}$x，AB=2AD=2x，
则BC=2BD=2$\sqrt{3}$x，
在Rt△ABE中，BE=$\frac{AB}{cosB}$$\frac{2x}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x，
∴DE=BE-BD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∵$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△ADE}}$=$\frac{\frac{1}{2}•2\sqrt{3}x•x}{\frac{1}{2}•\frac{\sqrt{3}}{3}x•x}$=6，
∴m²+9n²=6mn，即（m-3n）²=0，
∴m=3n，
故选：A．

点评 本题主要考查等腰三角形的性质及解直角三角形，根据三角函数及等腰三角形的性质得出S_△ABC=6S_△ADE是解题的关键．