Question

1．如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y=ax²+bx经过点B（1，4）和点E（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D点的坐标；
（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△BDM的周长为最小，并求△BDM周长的最小值及此时点M的坐标；
（4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使得△PAD的面积最大？若存在，请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点B（1，4），E（3，0）的坐标代入抛物线的解析式，得到关于a、b的方程组，求得a、b的值，从而可得到抛物线的解析式；
（2）依据同角的余角相等证明∠BDC=∠DE0，然后再依据AAS证明△BDC≌△DEO，从而得到OD=AO=1，于是可求得点D的坐标；
（3）作点B关于抛物线的对称轴的对称点B′，连接B′D交抛物线的对称轴与点M．先求得抛物线的对称轴方程，从而得到点B′的坐标，由轴对称的性质可知当点D、M、B′在一条直线上时，△BMD的周长有最小值，依据两点间的距离公式求得BD和B′D的长度，从而得到三角形的周长最小值，然后依据待定系数法求得D、B′的解析式，然后将点M的横坐标代入可求得点M的纵坐标；
（4）过点F作FG⊥x轴，垂足为G．设点F（a，-2a²+6a），则OG=a，FG=-2a²+6a．然后依据S_△FDA=S_梯形DOGF-S_△ODA-S_△AGF的三角形的面积与a的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可．

解答 解：（1）将点B（1，4），E（3，0）的坐标代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b=4}\\{9a+3b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-2x²+6x．
（2）如图1所示；

∵BD⊥DE，
∴∠BDE=90°．
∴∠BDC+∠EDO=90°．
又∵∠ODE+∠DEO=90°，
∴∠BDC=∠DE0．
在△BDC和△DOE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠DOE=90°}\\{∠BDC=∠DEO}\\{DB=DE}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△DEO．
∴OD=AO=1．
∴D（0，1）．
（3）如图2所示：作点B关于抛物线的对称轴的对称点B′，连接B′D交抛物线的对称轴与点M．

∵x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{3}{2}$，
∴点B′的坐标为（2，4）．
∵点B与点B′关于x=$\frac{3}{2}$对称，
∴MB=B′M．
∴DM+MB=DM+MB′．
∴当点D、M、B′在一条直线上时，MD+MB有最小值（即△BMD的周长有最小值）．
∵由两点间的距离公式可知：BD=$\sqrt{{1}^{2}+（4-1）^{2}}$=$\sqrt{10}$，DB′=$\sqrt{{2}^{2}+（4-1）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴△BDM的最小值=$\sqrt{10}$+$\sqrt{13}$．
设直线B′D的解析式为y=kx+b．
将点D、B′的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{2k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{3}{2}$，b=1．
∴直线DB′的解析式为y=$\frac{3}{2}$x+1．
将x=$\frac{3}{2}$代入得：y=$\frac{13}{4}$．
∴M（$\frac{3}{2}$，$\frac{13}{4}$）．
（4）如图3所示：过点F作FG⊥x轴，垂足为G．

设点P（a，-2a²+6a），则OG=a，PG=-2a²+6a．
∵S_梯形DOGP=$\frac{1}{2}$（OD+PG）•OG=$\frac{1}{2}$（-2a²+6a+1）×a=-a³+3a²+$\frac{1}{2}$a，S_△ODA=$\frac{1}{2}$OD•OA=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，S_△AGP=$\frac{1}{2}$AG•PG=-a³+4a²-3a，
∴S_△PDA=S_梯形DOGP-S_△ODA-S_△AGP=-a²+$\frac{7}{2}$a-$\frac{1}{2}$．
∴当a=$\frac{7}{4}$时，S_△PDA的最大值为$\frac{41}{16}$．
∴点P的坐标为（$\frac{7}{4}$，$\frac{35}{8}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式、全等三角形的性质和判定、轴对称的性质、二次函数的图象和性质得到△FDA的面积与a的函数关系式是解题的关键．