Question

12．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=-x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax²+bx与直线y=-x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段AB上一个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P作PF⊥MC于点F，设PF的长为t，
①求MN与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
②当MN取最大值时，连接ON，直接写出sin∠BON的值．

Answer 1

分析 （1）利用已知得出A，B点坐标，进而利用待定系数法得出a，b的值；
（2）①已知MN=d，PF=t，由图可知MN=MF+FN，不妨将MF和FN用PF代替，即可得到MN与PF的关系：利用45°的直角三角形和平行线性质可推得FN=PF=t，∠MPF=∠BOD，再利用tan∠BOD=tan∠MPF，得 $\frac{BD}{OD}$=$\frac{MF}{PF}$=3，从而有MF=3PF=3t，从而得出d与t的函数关系；
②根据过点M的直线与直线AB平行且与抛物线只有一个交点时，MN取最大，可得M点坐标，根据垂线间的关系，可得ON、BG的解析式，根据勾股定理，可得OB、BG的长，根据锐角三角函数的定义，可得答案．

解答 解：（1）∵y=-x+4与x轴交于点A，
∴A（4，0），
∵点B的横坐标为1，且直线y=-x+4经过点B，
∴B（1，3），
∵抛物线y=ax²+bx经过A（4，0），B（1，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=0}\\{a+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=-x²+4x；
（2）①如图1，作BD⊥x轴于点D，延长MP交x轴于点E，

∵B（1，3），A（4，0），
∴OD=1，BD=3，OA=4，
∴AD=3，
∴AD=BD，
∵∠BDA=90°，∠BAD=∠ABD=45°，
∵MC⊥x轴，
∴∠ANC=∠BAD=45°，
∴∠PNF=∠ANC=45°，
∵PF⊥MC，
∴∠FPN=∠PNF=45°，
∴NF=PF=t，
∵∠PFM=∠ECM=90°，
∴PF∥EC，
∴∠MPF=∠MEC，
∵ME∥OB，
∴∠MEC=∠BOD，
∴∠MPF=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠MPF，
∴$\frac{BD}{OD}$=$\frac{MF}{PF}$=3，
∴MF=3PF=3t，
∵MN=MF+FN，
∴MN=3t+t=4t；
②如图2作BG⊥ON于G点，

当过点M的直线与直线AB平行且与抛物线只有一个交点时，MN取最大，
∴设与AB平行的直线y=-x+b，
当-x²+4x=-x+b；即x²-5x+b=0，
△=25-4b=0，解b=$\frac{25}{4}$．
∴直线y=-x+$\frac{25}{4}$，
∴抛物线y=-x²+4x与y=-x+的交点M（$\frac{5}{2}$，$\frac{15}{4}$），
∴N点的横坐标为$\frac{5}{2}$，N点的纵坐标为-$\frac{5}{2}$+4=$\frac{3}{2}$，即N（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$），
ON的解析式为y=$\frac{3}{5}$x，
∵BG⊥ON，
设BG的解析式为y=-$\frac{5}{3}$x+b，
将B（1，3）代入y=-$\frac{5}{3}$x+b，
解得b=$\frac{14}{3}$，
BG的解析式为y=-$\frac{5}{3}$x+$\frac{14}{3}$，
联立BG、ON得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{5}x}\\{y=-\frac{5}{3}x+\frac{14}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{70}{34}}\\{y=\frac{42}{34}}\end{array}\right.$，即G（$\frac{70}{34}$，$\frac{42}{34}$）．

由勾股定理，得OB=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
BG=$\sqrt{（\frac{70}{34}-1）^{2}+（\frac{42}{34}-3）^{2}}$=$\frac{6\sqrt{34}}{17}$，
sin∠BON=$\frac{BG}{OB}$=$\frac{\frac{6\sqrt{34}}{17}}{\sqrt{10}}$=$\frac{6\sqrt{85}}{85}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质及平行线的性质，锐角三角函数的定义，垂线间的关系，勾股定理，运用知识较多，综合性强，题目难度较大．