Question

已知半径为3cm的⊙A与半径为1cm的⊙B外切于点E，直线CD与两圆都相切，切点分别是C，D．
（1）求CD的长．
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：相切两圆的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）连接AC，BD，AB，过点B作BP⊥AC，由切线的性质可得AC⊥CD，BD⊥CD，进而可得矩形PCDB，然后由勾股定理可求PB的长即CD的长；
（2）要求阴影部分的面积，就要明确阴影部分的面积=梯形ABDC的面积-扇形ACP的面积-扇形BPD的面积，然后根据面积公式分别计算即可．

解答：解：（1）连接AC，BD，AB，过点B作BE⊥AC，

∵直线CD与两圆都相切，切点分别是C，D，
∴AC⊥CD，BD⊥CD，
∴四边形PCDB是矩形，
∴CD=PB，PC=BD=1，
∴AP=AC-PC=3-1=2，
∵⊙A与⊙B外切于点E，
∴AB=EA+EB=4，
在Rt△PAB中，由勾股定理得：
PB²=AB²-AP²，
即PB=

16-4

=2

3

，
∴CD=PB=2

3

；
（2）在Rt△PAB中，
∵sin∠ABP=

PA

AB

=

2

4

=

1

2

，
∴∠ABP=30°，
∴∠A=60°，∠ABD=120°，
∵梯形ABDC的面积是：

1

2

×（1+3）×2

3

=4

3

cm²，
扇形ACE的面积是：

60π×9

360

=

3π

2

，
扇形BDE的面积是：

120π

360

=

π

3

，
则图中阴影部分的面积=梯形ABDC的面积-扇形ACE的面积-扇形BED的面积=4

3

-

11π

6

（cm²）．

点评：本题考查的知识点比较多．要掌握的是切线的性质，圆与圆的位置关系，扇形的面积公式以及直角三角形的性质．