Question

【题目】如图，正△ABC 的边长为 2，顶点 B、C 在半径为 的圆上，顶点 A在圆内，将正△ABC 绕点 B 逆时针旋转，当点 A 第一次落在圆上时，则点 C 运动的路线长为 （结果保留π）；若 A 点落在圆上记做第 1 次旋转，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转，当点 C 第一次落在圆上记做第 2 次旋转，再绕 C 将△ABC 逆时针旋转，当点 B 第一次落在圆上，记做第 3 次旋转……，若此旋转下去，当△ABC 完成第 2017 次旋转时，BC 边共回到原来位置 次．

Answer 1

【答案】，168.

【解析】

首先连接OA′、OB、OC，再求出∠C′BC的大小，进而利用弧长公式问题即可解决．因为△ABC是三边在正方形CBA′C″上，BC边每12次回到原来位置，2017÷12=168.08，推出当△ABC完成第2017次旋转时，BC边共回到原来位置168次.

如图，连接OA′、OB、OC．

∵OB=OC=，BC=2，

∴△OBC是等腰直角三角形，

∴∠OBC=45°；

同理可证：∠OBA′=45°，

∴∠A′BC=90°；

∵∠ABC=60°，

∴∠A′BA=90°-60°=30°，

∴∠C′BC=∠A′BA=30°，

∴当点A第一次落在圆上时，则点C运动的路线长为：．

∵△ABC是三边在正方形CBA′C″上，BC边每12次回到原来位置，

2017÷12=168.08，

∴当△ABC完成第2017次旋转时，BC边共回到原来位置168次，

故答案为：，168．