【题目】定义:函数与的图象关于轴对称,点是轴上一点,将函数的图象位于直线左侧的部分,以轴为对称轴翻折,得到新的函数的图象,我们称函数是函数的对称折函数,函数的图象记作,函数的图象位于直线上以及右侧的部分记作,图象和合起来记作图象.
例如:如图,函数的解析式为,当时,它的对称折函数的解析式为.
(1)函数的解析式为,当时,它的对称折函数的解析式为_______;
(2)函数的解析式为,当且时,求图象上点的纵坐标的最大值和最小值;
(3)函数的解析式为.若,直线与图象有两个公共点,求的取值范围.
【答案】(1);(2)的解析式为;图象上的点的纵坐标的最大值为,最小值为;(3)当,,时,直线与图象有两个公共点.
【解析】
(1)根据对折函数的定义直接写出函数解析式即可;
(2)先根据题意确定F的解析式,然后根据二次函数的性质确定函数的最大值和最小值即可;
(3)先求出当a=1时图像F的解析式,然后分、点落在上和点落在上三种情况解答,最后根据图像即可解答.
解:(1)
(2)的解析式为
当时,,当时,,
当时,,当时,,
∴图象上的点的纵坐标的最大值为,最小值为.
(3)当时,图象的解析式为
∴该函数的最大值和最小值分别为4和-4;
a:当时,,
∴当时直线与图象有两个公共点;
b:当点落在上时,
,解得,
c:当点落在上时,
,解得(舍),
,
∴
∴当或时,直线与图象有两个公共点;
综上所述:当,,时,直线与图象有两个公共点.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与轴交点,抛物线过两点,与轴交于另一点.
(1)求抛物线的解析式及点的坐标;
(2)在直线上方的抛物线上是否存在点,使与的交点恰好为的中点?如果存在,求出点的坐标,如果不存在,说明理由.
(3)若点在抛物线上且横坐标为,点是抛物线对称轴上一点,在抛物线上存在一点,使以为顶点的四边形是平行四边形?直接写出点的坐标.
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【题目】在平面直角坐标系中,点在抛物线上.
(1)如图1,若抛物线经过点.
①求抛物线的解析式;
②设抛物线与轴交于点,连接,,,若点在抛物线上,且与的面积相等,求点的坐标;
(2)如图2,若抛物线与轴交于点D过点作轴的平行线交抛物线于另一点.点为抛物线的对称轴与轴的交点,为线段上一动点.若以M,D,E为顶点的三角形与相似.并且符合条件的点恰有个,请直接写出抛物线的解析式及相应的点的坐标.
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【题目】为了解学生每天的睡眠情况,某初中学校从全校800名学生中随机抽取了部分学生,调查了他们平均每天的睡眠时间(单位:).以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分.
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)共随机抽取_______名学生;
(2)_____,_______,______,______;
(3)抽取的这40名学生平均每天睡眠时间的中位数落在______组(填组别);
(4)如果按照学校要求,学生平均每天的睡眠时间应不少于,请估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数.
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【题目】放风筝是大家喜爱的一种运动,星期天的上午小明在市政府广场上放风筝.如图,他在A处不小心让风筝挂在了一棵树梢上,风筝固定在了D处,此时风筝线AD与水平线的夹角为30°,为了便于观察,小明迅速向前边移动,收线到达了离A处10米的B处,此时风筝线BD与水平线的夹角为45°.已知点A,B,C在同一条水平直线上,请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米?(风筝线AD,BD均为线段,≈1.414,≈1.732,最后结果精确到1米).
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【题目】如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,给出了格点四边形ABCD(顶点为网格线的交点).
(1)画出四边形ABCD关于x轴成轴对称的四边形A1B1C1D1;
(2)以O为位似中心,在第三象限画出四边形ABCD的位似四边形A2B2C2D2,且位似比为1;
(3)在第一象限内找出格点P,使∠DCP=∠CDP,并写出点P的坐标(写出一个即可).
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【题目】一组正方形按如图所示放置,其中顶点 B1 在 y 轴上,顶点 C1,E1,E2,C2,E3,E4,C3… 在 x 轴上.已知正方形 A1B1C1D1 的边长为 1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3,则正方形 A2020B2020C2020D2020 的边长是______.
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