Question

【题目】定义：函数与的图象关于轴对称，点是轴上一点，将函数的图象位于直线左侧的部分，以轴为对称轴翻折，得到新的函数的图象，我们称函数是函数的对称折函数，函数的图象记作，函数的图象位于直线上以及右侧的部分记作，图象和合起来记作图象．

例如：如图，函数的解析式为，当时，它的对称折函数的解析式为．

（1）函数的解析式为，当时，它的对称折函数的解析式为_______；

（2）函数的解析式为，当且时，求图象上点的纵坐标的最大值和最小值；

（3）函数的解析式为．若，直线与图象有两个公共点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的解析式为；图象上的点的纵坐标的最大值为，最小值为；（3）当，，时，直线与图象有两个公共点．

【解析】

（1）根据对折函数的定义直接写出函数解析式即可；

（2）先根据题意确定F的解析式，然后根据二次函数的性质确定函数的最大值和最小值即可；

（3）先求出当a=1时图像F的解析式，然后分、点落在上和点落在上三种情况解答，最后根据图像即可解答．

解：（1）

（2）的解析式为

当时，，当时，，

当时，，当时，，

∴图象上的点的纵坐标的最大值为，最小值为.

（3）当时，图象的解析式为

∴该函数的最大值和最小值分别为4和-4；

a：当时，，

∴当时直线与图象有两个公共点；

b：当点落在上时，

，解得，

c：当点落在上时，

，解得（舍），

，

∴

∴当或时，直线与图象有两个公共点；

综上所述：当，，时，直线与图象有两个公共点.