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已知抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)与x轴交于不同的两个点A(x1,0)和点B(x2,0)与y轴的正半轴交于点C,如果x1,x2是方程x2-2x-3=0的两个根(x1<x2),且图象经过点(2,3)
(1)求抛物线的解析式并画出图象
(2)x在什么范围内函数值y大于3且随x的增大而增大.
(3)设(1)中的抛物线顶点为D,在y轴上是否存在点P,使得DP+BP的和最小?若存在,求出这个最小值;若不存在,说明理由.
分析:(1)根据二次函数与一元二次方程的关系可知,方程x2-2x-3=0的两个根即为函数与x轴的交点横坐标,利用待定系数法列出函数解析式,将(2,3)代入解析式,求出系数即可,根据函数解析式求出函数图象的顶点坐标,再求出与坐标轴的交点坐标即可画出函数图象.
(2)根据图象直接解答即可.
(3)作B关于y轴的对称点B′则B′坐标为(-3,0),连接DB′,设DB′的解析式为y=kx+b,求出函数解析式,与y轴交点坐标即为P点坐标.
解答:解:(1)设函数解析式为y=a(x2-2x-3),
把点(2,3)代入y=a(x2-2x-3)得,a(22-2×2-3)=3,
解得a=-1,
故函数解析式为y=-x2+2x+3,
当y=0时,-x2+2x+3=0,
解得x1=-1,x2=3.
故函数与x轴的交点坐标为A(-1,0)和点B(3,0),
当x=0时,y=-3,函数与y轴的交点为(0,-3),
又因为函数图象对称轴为x=-
2
2×(-1)
=1,
将x=1代入解析式得,y=-1+2+3=4,
则函数顶点坐标为(1,4).如图:

(2)由图可知,0<x<1时,y大于3且随x的增大而增大.

(3)作B关于y轴的对称点B′则B′坐标为(-3,0),连接DB′,
设DB′的解析式为y=kx+b,
将(1,4),(-3,0)分别代入解析式得,
k+b=4
-3k+b=0

解得
k=1
b=3

则函数解析式为y=x+3.
当x=0时,y=3,
则P点坐标为(0,3).
点评:本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式、轴对称最短路径问题及函数与坐标轴的交点等问题.要注意数形结合.
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如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-2,0),B(0,-4),C(2,-4)三点,且精英家教网与x轴的另一个交点为E.
(1)求抛物线的解析式;
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,k=
 

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2、已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,顶点坐标为(2,-3),那么该抛物线有(  )

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2
,b+ac=3.
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ca
,b+8
),求当x≥1时y1的取值范围.

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