Question

如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与轴交于点A（-1，0）和B，与轴交于点C（0，3）。

（1）求此抛物线的解析式及点B的坐标；
（2）设抛物线的顶点为D，连结CD、DB、CB、AC；
①求证：△AOC∽△DCB；
②在坐标轴上是否存在与原点O不重合的点P，使以P、A、C为顶点的三角形与△DCB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设Q是抛物线上一点，连结QB、QC，把△QBC沿直线BC翻折得到△Q'BC，若四边形QBQ'C为菱形，求此时点Q的坐标。

Answer 1

解：（1）抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3
点B的坐标是（3，0）；
（2）①证明：可求得顶点D（1，4）；
OA=1，OC=OB=3，∠OCB=45°
由勾股定理求得：CD=，BC=
∴
易知：∠DCy=45° ，
故∠DCB= 90°=∠AOC
∴△AOC∽△DCB。
②存在符合条件的点P有两个：P₁（9，0）或P₂（0，）。
（3）若四边形QBQ'C为菱形，则QQ' 垂直平分BC
∴点Q在线段BC的垂直平分线上
∵OC=OB
∴直线QQ'平分∠BOC，
即：直线QQ'的解析式为y=x
∵点Q在抛物线y=-x²+2x+3上，
∴-x²+2x+3=x
解得x=
∴Q（，）或（，）。