Question

12．如图1，在△ABC和△MNB中，∠ACB=∠MBN=90°，AC=BC=4，MB=NB=2，点N在BC边上，连接AN，CM，点E，F，D，G分别为AC，AN，MN，CM的中点，连接EF，FD，DG，EG．
（1）判断四边形EFDG的形状，并证明；
（2）求FD的长；
（3）如图2，将图1中的△MBN绕点B逆时针旋转90°，其他条件不变，猜想此时四边形EFDG的形状，并证明．

Answer 1

分析 （1）四边形EFDG是平行四边形，理由为：如图1，连接AM，由E、F、G、H分别为中点，利用利用中位线定理得到两组对边相等，即可得证；
（2）如图1，过点M作MH⊥AB，交AB的延长线于点H，根据内错角相等，两直线平行，得到AC与BM平行，由三角形ACB与三角形MBN都为等腰直角三角形，由BC求出AB的长，进而求出BH的长，由AB+BH求出AH的长，在直角三角形AMH中，利用勾股定理求出AM的长，利用中位线定理求出FD的长即可；
（3）四边形EFDG为正方形，理由为：如图2，连接CN，AM，分别交EF、CN于点L与K，由CB-BM求出CM的长，得到CM=BN，再由一对直角相等，AC=BC，利用SAS得到三角形ACM与三角形CBN全等，利用全等三角形对应边、对应角相等得到AM=CN，∠CAM=∠BCN，利用同角的余角相等，求出∠AKC为直角，利用两组对边平行的四边形为平行四边形得到四边形EFDG为平行四边形，再由一个内角为直角，且邻边相等即可得证．

解答 解：（1）四边形EFDG是平行四边形，
证明：如图1，连接AM，

∵E、F、D、G分别为AC、AN、MN、CM的中点，
∴FD=EG=$\frac{1}{2}$AM，EF=GD=$\frac{1}{2}$CN，
∴四边形EFDG是平行四边形；
（2）如图1，过点M作MH⊥AB，交AB的延长线于点H，
∵∠ACB=∠MBN=90°，AC=BC=4，MB=NB=2，
∴AC∥BM，
∴∠MBH=∠CAB=45°，
∴AB=$\frac{BC}{sin45°}$=4$\sqrt{2}$，
∴BH=MH=MBsin45°=$\sqrt{2}$，
∴AH=AB+BH=4$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$=5$\sqrt{2}$，
在Rt△AMH中，由勾股定理得：AM=$\sqrt{A{H}^{2}+M{H}^{2}}$=$\sqrt{（5\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
则FD=$\frac{1}{2}$AM=$\sqrt{13}$；
（3）四边形EFDG是正方形，
证明：如图2，连接CN，AM，分别交EF、CN于点L与K，

由已知得：点M和点D分别落在BC与AB边上，
∴CM=CB-BM=4-2=2，
∴CM=BN，
∵∠ACM=∠CBN=90°，AC=BC，
∴△ACM≌△CBN（SAS），
∴AM=CN，∠CAM=∠BCN，
∵∠ACK+∠KCM=90°，
∴∠ACK+∠CAK=90°，
在△ACK中，∠AKC=180°-（∠ACK+∠CAK）=180°-90°=90°，
由（1）可得EG∥AM∥FD，EF∥CN∥GD，
∴四边形EFDG是平行四边形，
∴∠GEL=∠ELA=∠AKC=90°，
∴四边形EFDG是矩形，
∵EG=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{1}{2}$CN=EF，
∴四边形EFDG是正方形．

点评 此题考查了几何变换综合题，涉及的知识有：平行四边形的判定与性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，三角形中位线定理，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．