Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，EH垂直平分BD，交BD于点M，过BD上一点F作FG∥BE，FG恰好平分∠EFD，FG与EH交于点N．

（1）求证：DEDG=DFBF；

（2）若AB=3，AD=9，求FN的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）FN=．

【解析】分析：（1）由线段垂直平分线的性质可得BE＝DE，根据等边对等角得出∠1＝∠2．再证明∠3＝∠5，那么△BEF∽△DFG，根据相似三角形对应边成比例可得＝，将BE＝DE代入即可证明DEDG＝DFBF；

（2）设DE＝x，则BE＝x，在Rt△ABE中根据勾股定理得出32＋(9－x)2＝x2，解方程求出x＝5．在Rt△ABD中，由勾股定理求出BD＝＝，那么BM＝DM＝ ．再证明BE2＝BFDB，求出BF＝＝，那么FM＝BM－BF＝．再由FN∥BE，得出△MNF∽△MEB，根据相似三角形对应边成比例可得＝，即可求出FN＝．

详解：（1）证明：如图．∵EH垂直平分BD，

∴BE＝DE，∠1＝∠2．

∵FG平分∠EFD，

∴∠3＝∠4．

∴FG∥BE，

∴∠4＝∠5，

∴∠3＝∠5，

∴△BEF∽△DFG，

∴＝，

∵BE＝DE，

∴＝，

∴DEDG＝DFBF；

（2）解：设DE＝x，则BE＝x，

∵AB＝3，AD＝9，

∴AE＝9﹣x．

在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，

∴AB2＋AE2＝BE2，即32＋（9﹣x）2＝x2，

解得x＝5．

在Rt△ABD中，∵∠A＝90°，AB＝3，AD＝9，

∴BD＝＝3，

∴BM＝DM＝．

由（1）得＝，

∵FG∥BE，

∴＝，

∴＝，

∵BE＝DE，

∴BE2＝BFDB，

∴BF＝＝＝，

∴FM＝BM﹣BF＝﹣＝．

∵FN∥BE，

∴△MNF∽△MEB，

∴＝，即＝，

解得FN＝．