Question

【题目】如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P在上运动（点P不与点A、B重合），且∠APB＝30°，设图中阴影部分的面积为y．

（1）⊙O的半径为 ；

（2）若点P到直线AB的距离为x，求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）y=2x＋π－4 (0＜x≤2＋4)

【解析】

（1）根据圆周角定理得到△AOB是等边三角形，求出⊙O的半径；
（2）过点O作OH⊥AB，垂足为H,先求出AH=BH=AB=2，再利用勾股定理得出OH的值，进而求解.

（1）解：（1）∵∠APB=30°，
∴∠AOB=60°，又OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴⊙O的半径是4；

（2）解：过点O作OH⊥AB，垂足为H

则∠OHA＝∠OHB＝90°

∵∠APB＝30°

∴∠AOB＝2∠APB＝60°

∵OA=OB，OH⊥AB

∴AH=BH=AB=2

在Rt△AHO中，∠AHO＝90°，AO＝4，AH＝2

∴OH＝＝2

∴y＝×16 π－×4×2＋×4×x

=2x＋π－4 (0＜x≤2＋4).