Question

20．在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，
（1）将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点E处（如图①），设DE和BC相交于点F，试说明△BDF为等腰三角形，并求BF的长；
（2）将矩形纸片折叠，使B与D重合（如图②）求折痕GH的长．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质可得∠ADB=∠EDB，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB=∠DBC，然后求出∠FBD=∠FDB，根据等角对等边可得BF=DF，设BF=x，表示出CF，在Rt△CDF中，利用勾股定理列出方程求解即可；
（2）根据折叠的性质可得DH=BH，设BH=DH=x，表示出CH，然后在Rt△CDH中，利用勾股定理列出方程求出x，再连接BD、BG，根据翻折的性质可得BG=DG，∠BHG=∠DHG，根据两直线平行，内错角相等求出∠BHG=∠DGH，然后求出∠DHG=∠DGH，根据等角对等边可得DH=DG，从而求出四边形BHDG是菱形，再利用勾股定理列式求出BD，然后根据菱形的面积列出方程求解即可．

解答 解：（1）由折叠得，∠ADB=∠EDB，
∵矩形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠FBD=∠FDB，
∴BF=DF，
∴△BDF为等腰三角形；
设BF=x，则CF=8-x，
在Rt△CDF中，CD²+CF²=DF²，
即6²+（8-x）²=x²，
解得x=$\frac{25}{4}$；

（2）由折叠得，DH=BH，设BH=DH=x，则CH=8-x．
在Rt△CDH中，CD²+CH²=DH²，
即6²+（8-x）²=x²，
解得x=$\frac{25}{4}$．
如图②，连接BD、BG，
由翻折的性质可得，BG=DG，∠BHG=∠DHG，
∵矩形ABCD的边AD∥BC，
∴∠BHG=∠DGH，
∴∠DHG=∠DGH，
∴DH=DG，
∴BH=DH=DG=BG，
∴四边形BHDG是菱形，
在Rt△BCD中，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
S_菱形BHDG=$\frac{1}{2}$BD•GH=BH•CD，
即$\frac{1}{2}$×10•GH=$\frac{25}{4}$×6，
解得GH=$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，菱形的判定与性质，熟记翻折的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．