如图.在平面直角坐标系xoy中.矩形ABCD的边AB在x轴上.且AB=3.BC=2$\sqrt{3}$.直线y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$经过点C.交y轴于点G．(1)求C.D坐标,(2)已知抛物线顶点y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$上.且经过C.D.若抛物线与y交于点M连接MC.设点Q是线段下方此抛物线上一点.当点Q运动到什么位置时.△MCQ� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

7．

如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=2$\sqrt{3}$，直线y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$经过点C，交y轴于点G．
（1）求C，D坐标；
（2）已知抛物线顶点y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$上，且经过C，D，若抛物线与y交于点M连接MC，设点Q是线段下方此抛物线上一点，当点Q运动到什么位置时，△MCQ的面积最大？求出此时点Q的坐标和面积的最大值．
（3）将（2）中抛物线沿直线y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E（顶点在y轴右侧）．平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

分析（1）先令y=2$\sqrt{3}$求出x的值，故可得出OA的长，根据正方形的性质即可得出C、D的坐标；
（2）由二次函数对称性得出其顶点坐标，设抛物线解析式为y=a（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，把点D（1，2$\sqrt{3}$）代入求出a的值，故可得出二次函数的解析式，得出点M的坐标．利用待定系数法求出直线CM的解析式，再根据三角形的面积即可得出结论；
（3）设顶点E在直线上运动的横坐标为m，则E（m，$\sqrt{3}$m-2$\sqrt{3}$）（m＞0），故可设解析式为y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（x-m）²+$\sqrt{3}$m-2，再分FG=EG，GE=EF及FG=FE三种情况进行讨论．

解答解：（1）令y=2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$，解得x=4，
则OA=4-3=1，
∴C（4，2$\sqrt{3}$），D（1，2$\sqrt{3}$）；

（2）由二次函数对称性得，顶点横坐标为$\frac{1+4}{2}$=$\frac{5}{2}$，
令x=$\frac{5}{2}$，则y=$\sqrt{3}$×$\frac{5}{2}$-2$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴顶点坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴设抛物线解析式为y=a（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，把点D（1，2$\sqrt{3}$）代入得，a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴解析式为y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即$y=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}{x^2}-\frac{{10\sqrt{3}}}{3}x+\frac{{14\sqrt{3}}}{3}$，
∴M（0，$\frac{{14\sqrt{3}}}{3}$）
又∵C（4，2$\sqrt{3}$），
∴直线CM的解析式为y=$-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}x+\frac{{14\sqrt{3}}}{3}$
过点Q作QH⊥x轴交直线CM于点H
设Q（m，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m²-$\frac{10\sqrt{3}}{3}$m+$\frac{14\sqrt{3}}{3}$），则H（m，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m+$\frac{14\sqrt{3}}{3}$）
∴S_△MCQ=$\frac{1}{2}QH（{{x_c}-{x_m}}）=2（{-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}m+\frac{{14\sqrt{3}}}{3}-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}{m^2}+\frac{{10\sqrt{3}}}{3}m-\frac{{14\sqrt{3}}}{3}}）$
=$-\frac{{4\sqrt{3}}}{3}{（{m-2}）^2}+\frac{{16\sqrt{3}}}{3}$
所以当m=2时，S_△MCQ最大=$\frac{{16\sqrt{3}}}{3}$，此时Q（2，$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$）

（3）设顶点E在直线上运动的横坐标为m，则E（m，$\sqrt{3}$m-2$\sqrt{3}$）（m＞0）
∴可设解析式为y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（x-m）²+$\sqrt{3}$m-2$\sqrt{3}$，
①若FG=EG时，FG=EG=2m，则F（0，2m-2$\sqrt{3}$），
代入解析式得$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m2+$\sqrt{3}$m-2$\sqrt{3}$=2m-2$\sqrt{3}$，
得m=0（舍去），m=$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$，
此时所求的解析式为：y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（x-$\sqrt{3}$+$\frac{3}{2}$）²+3-$\frac{7\sqrt{3}}{2}$；
②若GE=EF时，FG=2$\sqrt{3}$m，则F（0，2$\sqrt{3}$m-2$\sqrt{3}$），
代入解析式得：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m²+$\sqrt{3}$m-2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$m-2$\sqrt{3}$，解得m=0（舍去），m=$\frac{3}{2}$，
此时所求的解析式为：y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
③若FG=FE时，
∵平移后抛物线的顶点在y轴右侧，
∴∠GEF为钝角，
∴此种情况不存在．

点评本题考查的是二次函数综合题，涉及到轴对称的性质、二次函数图象上点的坐标特点等知识，难度较大．

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