Question

如图①，在?ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B-A-D-A运动，沿B-A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A-D-A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点 B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ．
（1）当点P沿A-D-A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）．
（2）连结AQ，在点P沿B-A-D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式．
（3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B-A-D运动过程中，当线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值．
（4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）分情况讨论，当点P沿A-D运动时，当点P沿D-A运动时分别可以表示出AP的值；
（2）分类讨论，当0＜t＜1时，当1＜t＜时，根据三角形的面积公式分别求出S与t的函数关系式；
（3）分情况讨论，当0＜t＜1时，当1＜t＜时，当＜t＜时，利用三角形的面积相等建立方程求出其解即可；
（4）分情况讨论当P在A-D之间或D-A之间时，如图⑥，根据轴对称的性质可以知道四边形QCOC′为菱形，根据其性质建立方程求出其解，当P在D-A之间如图⑦，根据菱形的性质建立方程求出其解即可．
解答：解：（1）当点P沿A-D运动时，AP=8（t-1）=8t-8．
当点P沿D-A运动时，AP=50×2-8（t-1）=108-8t．（2分）

（2）当点P与点A重合时，BP=AB，t=1．
当点P与点D重合时，AP=AD，8t-8=50，t=．
当0＜t＜1时，如图①．
作过点Q作QE⊥AB于点E．
S_△ABQ==，
∴QE===．
∴S=-30t²+30t．
当1＜t≤时，如图②．
S==，
∴S=48t-48；

（3）当点P与点R重合时，
AP=BQ，8t-8=5t，t=．
当0＜t≤1时，如图③．
∵S_△BPM=S_△BQM，
∴PM=QM．
∵AB∥QR，
∴∠PBM=∠QRM，∠BPM=∠MQR，
在△BPM和△RQM中
，
∴△BPM≌△RQM．
∴BP=RQ，
∵RQ=AB，
∴BP=AB
∴13t=13，
解得：t=1
 当1＜t≤时，如图④．
∵BR平分阴影部分面积，
∴P与点R重合．
∴t=．
当＜t≤时，如图⑤．
∵S_△ABR=S_△QBR，
∴S_△ABR＜S_{四边形BQPR}．
∴BR不能把四边形ABQP分成面积相等的两部分．
综上所述，当t=1或时，线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分．

（4）如图⑥，当P在A-D之间或D-A之间时，C′D′在BC上方且C′D′∥BC时，
∴∠C′OQ=∠OQC．
∵△C′OQ≌△COQ，
∴∠C′OQ=∠COQ，
∴∠CQO=∠COQ，
∴QC=OC，
∴50-5t=50-8（t-1）+13，或50-5t=8（t-1）-50+13，
解得：t=7或t=．
当P在A-D之间或D-A之间，C′D′在BC下方且C′D′∥BC时，如图⑦．
同理由菱形的性质可以得出：OD=PD，
∴50-5t+13=8（t-1）-50，
解得：t=．
∴当t=7，t=，t=时，点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，且C′D′∥BC．
点评：本题考查了平行四边形的性质的运用，菱形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，分类讨论的数学思想的运用，轴对称的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用动点问题的解答方法确定分界点是解答本题的关键和难点．