Question

5．比较大小：$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$＜$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$（填“＞“或“＜“）

Answer 1

分析 先求出n的取值范围，再令n=1，2，3，4，5…k，找出规律即可．

解答 解：∵$\sqrt{n-1}$有意义，
∴n-1≥0，
∴n≥1，
∴当n=1时，$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$=$\sqrt{2}$-1=0，$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$=1，0＜1；
当n=2时，$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$≈1.7-1.4=0.3，$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$=$\sqrt{2}$-1≈1.4-1=0.4，0.3＜0.4；
当n=3时，$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$=2-$\sqrt{3}$≈2-1.73=0.27，$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$≈1.73-1.41=0.32，0.27＜0.32；
…，
综上所述，当n=k时，$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k}$＜$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$，
故答案为：＜．

点评 本题考查的是实数的大小比较，熟知利用归纳法比较实数的大小是解答此题的关键．