Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，C为半圆上一动点，过点C作⊙O的切线l，过点B作BD⊥l，垂足为D，BD与⊙O交于点E，连接OC，CE，AE，AE交OC于点F．

（1）求证：△CDE≌△EFC；

（2）若AB＝4，连接AC．

①当AC＝_____时，四边形OBEC为菱形；

②当AC＝_____时，四边形EDCF为正方形．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①当AC＝2时，四边形OCEB是菱形时2；②当四边形DEFC是正方形时，2．

【解析】

(1)由AB是直径可得∠AEB=90°，由切线性质可得∠FCD=90°，由BD⊥CD可得∠CDE=90°，即可证明四边形CFED是矩形，可得CF＝DE，EF＝CD，利用SSS即可证明△CDE≌△EFC；（2）①连接OE，由菱形性质可得OB=BE，即可证明△OBE是等边三角形，可得∠B=60°，由OC//BD可得∠AOC=∠B=60°，可证明△OAC是等边三角形，即可求出AC=AB=2；②由正方形的性质可得∠CEF＝∠FCE＝45°，由垂径定理可知，即可得出AC=CE，进而可得∠CAE＝∠CEA＝45°，即可证明∠ACE=90°，可得AE是⊙O的直径，即点E与点B重合，点F与点O重合，可得△ABC是等腰直角三角形，即可求出AC的长.

（1）∵BD⊥CD，

∴∠CDE＝90°，

∵AB是直径，

∴∠AEB＝90°，

∵CD是切线，

∴∠FCD＝90°，

∴四边形CFED矩形，

∴CF＝DE，EF＝CD，

在△CDE和△EFC中，

，

∴△CDE≌△EFC．

（2）解：①当AC＝2时，四边形OBEC是菱形．

理由：连接OE．

∵四边形OBEC是菱形，

∴OB=BE，

∵OE=OB，

∴△OBE是等边三角形，

∴∠B=60°，

∵OC//BD，

∴∠AOC=∠B=60°，

∵OA=OC，

∴△OAC是等边三角形，

∴AC=OA=AB=2.

∴AC＝2时，四边形OBEC是菱形．

故答案为2．

②当四边形EDCF是正方形时，

∵CF＝FE，

∵∠CEF＝∠FCE＝45°，

∵OC⊥AE，

∴，

∴AC=CE，

∴∠CAE＝∠CEA＝45°，

∴∠ACE＝90°，

∴AE是⊙O的直径，即点E与点B重合，点F与点O重合，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AC=AB＝2．

∴AC＝2时，四边形EDCF是正方形．

故答案为2．