Question

已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，
（1）若∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE的度数．
（2）探索∠DAE与∠C-∠B的关系，并说明．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的角平分线、中线和高,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）根据三角形的内角和定理求出∠BAC，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，根据角平分线的定义求出∠BAE，然后根据∠DAE=∠BAD-∠BAE计算即可得解；
（2）把（1）中角的度数改为角整理即可得解．

解答：解：（1）∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-50°=100°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=

1

2

∠BAC=

1

2

×100°=50°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=60°-50°=10°；

（2）2∠DAE=∠C-∠B．
理由如下：在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C，
∵AD是△ABC的高，
∴∠BAD=90°-∠B，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-∠B-∠C），
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=90°-∠B-

1

2

（180°-∠B-∠C）=

1

2

（∠C-∠B），
∴2∠DAE=∠C-∠B．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，三角形角平分线的定义，高线的定义，熟记定理以及概念并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．