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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的三个顶点分别是C(3,0),D(3,4),E(0,4).点A在DE上,以A为顶点的抛物线过点C,且对称轴x=1交x轴于点B.连接EC,AC.点P,Q为动点,设运动时间为t秒.

(1)填空:点A坐标为 ;抛物线的解析式为

(2)在图1中,若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动,同时,点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动,当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动.当t为何值时,△PCQ为直角三角形?

(3)在图2中,若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动,过点P做PF⊥AB,交AC于点F,过点F作FG⊥AD于点G,交抛物线于点Q,连接AQ,CQ.当t为何值时,△ACQ的面积最大?最大值是多少?

【答案】(1)点A坐标为(14),y=﹣x2+2x+3;(2)当t=t=时,△PCQ为直角三角形;(3)当t=2时,△ACQ的面积最大,最大值是1

【解析】试题分析:(1)根据矩形的三个顶点坐标以及抛物线的对称轴可求出点A的坐标;设抛物线的解析式为顶点式,然后把点AC坐标代入计算即可;(2)分∠QPC=90°∠PQC=90°两种情况讨论,利用比例线段可求出t的值;(3)求出直线AC的解析式,然后把点P14﹣t)的纵坐标代入,然后用t可表示出点Q的坐标,以及QF的长,然后可求出△ACQ的面积与t的函数关系式,利用二次函数的性质确定函数值的值即可.

试题解析:解:(1抛物线的对称轴为x=1,矩形OCDE的三个顶点分别是C30),D34),E04),点ADE上,

A坐标为(14),

设抛物线的解析式为y=ax﹣12+4

C30)代入抛物线的解析式,可得a3﹣12+4=0

解得a=﹣1

故抛物线的解析式为y=﹣x﹣12+4,即y=﹣x2+2x+3

2)依题意有:OC=3OE=4

∴CE===5

∠QPC=90°时,

∵cos∠QPC==

=

解得t=

∠PQC=90°时,

∵cos∠QCP==

=

解得t=

t=t=时,△PCQ为直角三角形;

3∵A14),C30),

设直线AC的解析式为y=kx+b,则

解得

故直线AC的解析式为y=﹣2x+6

∵P14﹣t),将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中,得x=1+

∴Q点的横坐标为1+

x=1+代入y=﹣x﹣12+4中,得y=4﹣

∴Q点的纵坐标为4﹣

∴QF=4﹣4﹣t=t﹣

∴SACQ=SAFQ+SCPQ

=FQAG+FQDG

=FQAG+DG

=FQAD

=×2t﹣

=﹣t﹣22+1

t=2时,△ACQ的面积最大,最大值是1

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