Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BE是角平分线，CD⊥BE交BE的延长线于点D，求证：BE=2CD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：延长BA和CD交于Q，求出∠ACQ=∠ABE，证出△ABE≌△ACQ，推出BE=CQ，求出∠QBD=∠CBD，∠BDC=∠BDQ=90°，证△QDB≌△CDB，推出CD=DQ即可．

解答：证明：延长BA和CD交于Q，
∵∠CAQ=∠BAE=∠BDC=90°，
∴∠ACQ+∠Q=90°，∠ABE+∠Q=90°，
∴∠ACQ=∠ABE，
在△ABE和△ACQ中，

∠ABE=∠ACQ AB=AC ∠BAE=∠CAQ

，
∴△ABE≌△ACQ（ASA），
∴BE=CQ，
∵BD平分∠ABC，
∴∠QBD=∠CBD，
∵∠BDC=90°，
∴∠BDC=∠BDQ=90°，
在△QDB和△CDB中，

∠QBD=∠CBD BD=BD ∠BDQ=∠BDC

，
∴△QDB≌△CDB（ASA），
∴CD=DQ，
∴BE=CQ=2CD．

点评：本题考查了等腰直角三角形性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出BE=CQ和CD=QD，题目比较好，难度适中．