如图1.在△ABC中.BC=4.以线段AB为边作△ABD.使得AD=BD.连接DC.再以DC为边作△CDE.使得DC=DE.∠CDE=∠ADB=α．(1)如图2.当∠ABC=45°且α=90°时.用等式表示线段AD.DE之间的数量关系,(2)将线段CB沿着射线CE的方向平移.得到线段EF.连接BF.AF．①若α=90°.依题意补全图3.求线段AF的长,②请直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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1．如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．
（1）如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；
（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．
①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；
②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．

分析（1）根据等腰直角三角形的性质得出即可；
（2）①设DE与BC相交于点H，连接 AE，交BC于点G，根据SAS推出△ADE≌△BDC，根据全等三角形的性质得出AE=BC，∠AED=∠BCD．求出∠AFE=45°，解直角三角形求出即可；
②过E作EM⊥AF于M，根据等腰三角形的性质得出∠AEM=∠FEM=$\frac{α}{2}$，AM=FM，解直角三角形求出FM即可．

解答解：（1）AD+DE=4，
理由是：如图1，

∵∠ADB=∠EDC=∠α=90°，AD=BD，DC=DE，
∴AD+DE=BC=4；
（2）①补全图形，如图2，

设DE与BC相交于点H，连接AE，
交BC于点G，
∵∠ADB=∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠BDC，
在△ADE与△BDC中，
$\left\{\begin{array}{l}AD=BD\\∠ADE=∠BDC\\ DE=DC\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BDC，
∴AE=BC，∠AED=∠BCD．
∵DE与BC相交于点H，
∴∠GHE=∠DHC，
∴∠EGH=∠EDC=90°，
∵线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，
∴EF=CB=4，EF∥CB，
∴AE=EF，
∵CB∥EF，
∴∠AEF=∠EGH=90°，
∵AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠AFE=45°，
∴AF=$\frac{EF}{{cos{{45}°}}}$=4$\sqrt{2}$；

②如图2，过E作EM⊥AF于M，
∵由①知：AE=EF=BC，
∴∠AEM=∠FEM=$\frac{α}{2}$，AM=FM，
∴AF=2FM=EF×sin$\frac{α}{2}$=8sin$\frac{α}{2}$．

点评本题考查了全等三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，平移的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．

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