Question

已知△ABC中∠BAC=120°，BC=26，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，与AB、AC分别交于点D、G．求：
（1）∠EAF的度数．
（2）求△AEF的周长．
（3）若∠BAC是锐角，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，与AB、AC分别交于点D、G．设∠BAC=y，∠EAF=x，请求出y与x之间的关系式．

Answer 1

分析：（1）由AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，与AB、AC分别交于点D、G．可得AE=BE，AF=GF，继而可得∠B=∠BAE，∠C=∠FAC，又由∠BAC=120°，即可求得∠B+∠C的度数，继而求得答案；
（2）由AE=BE，AF=GF，可得△AEF的周长等于BC的长；
（3）由AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，与AB、AC分别交于点D、G．可得AE=BE，AF=GF，继而可得∠B=∠BAE，∠C=∠FAC，又由∠BAC=120°，即可求得∠B+∠C的度数，继而求得答案．

解答：解：（1）∵∠BAC=120°，
∴∠B+∠C=60°，
∵DE垂直平分AB，
∴BE=AE，
∴∠B=∠BAE，
∵FG垂直平分AC，
∴∠C=∠FAC，
∴∠BAE+∠FAC=∠B+∠C=60°，
∴∠EAF=120°-60°=60°；

（2）∵BC=26，
∴BE+FE+FC=26，
∵EB=AE，AF=FC，
∴EA+AF+EF=26，
∴△AEF的周长为26；

（3）∵∠BAC=y，
∴∠B+∠C=180°-y，
∵DE垂直平分AB，
∴BE=AE，
∴∠B=∠BAE，
∵FG垂直平分AC，
∴∠C=∠FAC，
∴∠BAE+∠FAC=∠B+∠C=180°-y，
∴∠EAF=y-（180°-y）=x；
∴y=90°-

1

2

x．

点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．