Question

已知如图抛物线l₁与x轴的交点的坐标为（-1，0）和（-5，0），与y轴的交点坐标为（0，2.5）．
（1）求抛物线l₁的解析式；
（2）抛物线l₂与抛物线l₁关于原点对称，现有一身高为1.5米的人撑着伞与抛物线l₂的对称轴重合，伞面弧AB与抛物线l₂重合，头顶最高点C与伞的下沿AB在同一条直线上（如图所示不考虑其他因素），如果雨滴下降的轨迹是沿着直线y=mx+b运动，那么不被淋到雨的m的取值范围是多少？
（3）将伞的下沿AB沿着抛物线l₂对称轴上升10厘米至A₁B₁，A₁B₁比AB长8厘米，抛物线l₂除顶点M不动外仍经过弧A₁B₁（其余条件不变），那么被雨淋到的几率是扩大了还是缩小了，说明理由．

Answer 1

解：（1）由于抛物线l₁经过（-1，0），（-5，0），（0，2.5），
设其解析式为：y=a（x+1）（x+5），则有：
a（0+1）（0+5）=2.5，即a=0.5；
∴抛物线l₁：y=0.5（x+1）（x+5）=0.5x²+3x+2.5．

（2）∵抛物线l₁：y=0.5（x+3）²-2，且抛物线l₁、l₂关于原点对称，
∴抛物线l₂：y=-0.5（x-3）²+2=-0.5x²+3x-2.5；
当y=1.5时，-0.5x²+3x-2.5=1.5，
整理得：x²-6x+8=0，
解得x=2，x=4；
即A（2，1.5），B（4，1.5），M（3，2）；
设抛物线的对称轴与x轴的交点为N，则N（3，0）；
则直线AN的斜率：k₁==-1.5，
直线BN的斜率：k₂==1.5；
若要不被雨淋到，m的取值范围为：-1.5＜m＜1.5．

（3）由题意知：tan∠A₁NC===，
tan∠ANC===；
故∠A₁NC＜∠ANC，∠A₁NB₁＜∠ANB，
所以被雨淋到的几率增大了．
分析：（1）由图可得到抛物线l₁图象上的三点坐标，利用待定系数法即可求得抛物线l₁的解析式；
（2）由于抛物线l₁、l₂关于原点对称，那么它们的开口方向，顶点横、纵坐标，与y轴交点坐标都互为相反数，而开口大小没有变化（即二次项系数的绝对值），由此可求得抛物线l₂的解析式；已知了C点的纵坐标，将其代入抛物线的解析式l₂中，即可求得A、B的纵坐标；设抛物线对称轴与x轴交于点N，根据A、B、N三点坐标，即可求得直线AN、BN的斜率，从而确定出m的取值范围．
（3）此题只需比较∠A₁NB₁与∠ANB的度数关系，若∠A₁NB₁＞∠ANB，说明被淋到的几率减小，反之则增大，可连接AN、A₁N₁，通过比较∠A₁NC、∠ANC的正确值的大小，来得到两个角的大小关系，由此得解．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定以及函数图象的几何变换、一次函数斜率的确定、解直角三角形的应用等知识，此题结合实际问题来考查函数的实际应用，立意新颖，难度适中．