Question

【题目】如图1．△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E，F作射线GA的垂线，垂足分别为P，Q．

（1）求证：△EPA≌△AGB：

（2）试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图2．若连接EF交GA的延长线于H，由（2）中的结论你能判断EH与FH的大小关系吗？并说明理由：

（4）在（3）的条件下，若BC＝10，AG＝12．请直接写出S△AEF＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）结论：EP＝FQ，证明见解析；（3）结论：EH＝FH，理由见解析；（4）60．

【解析】

（1）根据等腰Rt△ABE的性质，求出∠EPA＝∠EAB＝∠AGB＝90°，∠PEA＝∠BAG，根据AAS推出△EPA≌△AGB．

（2）根据全等三角形的性质推出EP＝AG，同理可得△FQA≌△AGC，即可得出AG＝FQ，最后等量代换即可得出答案．

（3）求出∠EPH＝∠FQH＝90°，根据AAS推出△EPH≌△FQH，即可得出EH与FH的大小关系．

（4）根据全等三角形△EPH≌△FQH，△EPA≌△AGB，△FQA≌△AGC，推出S△FQA＝S△AGC，S△FQH＝S△EPH，S△EPA＝S△AGB，即可求出S△AEF＝S△ABC，根据三角形面积公式求出即可．

解：（1）如图1，∵∠EAB＝90°，EP⊥AG，AG⊥BC，

∴∠EPA＝∠EAB＝∠AGB＝90°，

∴∠PEA+∠EAP＝90°，∠EAP+∠BAG＝90°，

∴∠PEA＝∠BAG，

在△EPA和△AGB中，

∴△EPA≌△AGB（AAS），

（2）结论：EP＝FQ，

证明：由（1）可得，△EPA≌△AGB，

∴EP＝AG，

如图1，∵∠FAC＝90°，FQ⊥AG，AG⊥BC，

∴∠FQA＝∠FAC＝∠CGA＝90°，

∴∠FAQ+∠AFQ＝90°，∠FAQ+∠GAC＝90°，

∴∠AFQ＝∠GAC，

在△QFA和△GAC中，

∴△QFA≌△GAC（AAS），

∴AG＝FQ，

∴EP＝FQ；

（3）结论：EH＝FH，

理由：如图，∵EP⊥AG，FQ⊥AG，

∴∠EPH＝∠FQH＝90°，

在△EPH和△FQH中，

∴△EPH≌△FQH（AAS），

∴EH＝FH．

（4））∵△EPH≌△FQH，△EPA≌△AGB，△FQA≌△AGC，

∴S△FQA＝S△AGC，S△FQH＝S△EPH，S△EPA＝S△AGB，

∴S△AEF＝S△EPA+S△FQA

＝S△AGB+S△AGC

＝S△ABC

＝×BC×AG

＝×10×12

＝60

故答案为：60．