Question

勾股定理是解决直角三角形很重要的数学定理．这个定理的证明的方法很多，也能解决许多数学问题．请按要求作答：
（1）用语言叙述勾股定理；
（2）选择图1、图2、图3中一个图形来验证勾股定理；
（3）利用勾股定理来解决下列问题：
如图4，一个长方体的长为8，宽为3，高为5．在长方体的底面上一点A处有一只蚂蚁，它想吃长方体上与A点相对的B点处的食物，则蚂蚁需要沿长方体表面爬行的最短路程是多少？

Answer 1

考点：平面展开-最短路径问题,勾股定理的证明

专题：

分析：（1）在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．
（2）利用S_梯形ABCD=S_Rt△ABE+S_Rt△DEC+S_Rt△AED进行解答．
（3）把长方体表面展开，转化为平面图形，当长、宽、高互不相等时，要分三种情况，根据勾股定理分别求出即可．

解答：解：（1）在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．           
（2）（2）∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴∠AEB=∠EDC，
又∵∠EDC+∠DEC=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠AED=90°．
∵S_梯形ABCD=S_Rt△ABE+S_Rt△DEC+S_Rt△AED，
∴

1

2

（a+b）（a+b）=

1

2

ab+

1

2

ab+

1

2

c²．
整理，得a²+b²=c²．                                         
（3）把长方体表面展开，转化为平面图形，当长、宽、高互不相等时，要分三种情况，根据勾股定理分别求出．
①当展开图形为：②当展开图为：③当展开图为：

①AB=

128

   ②AB=

146

③AB=

172

∵128＜146＜172
∴蚂蚁需要沿长方体表面爬行的最短路程是8

2

．

点评：本题考查了勾股定理的证明．解答该题时，利用了“数形结合”的数学思想．