【题目】如图,是一副学生用的三角板,在△ABC 中,∠C=90°,∠A=60°,∠B=30°;在△A1B1C1中,∠C1=90°,∠B1A1 C1=45°,∠B1=45°,且A1B1=CB.若将边A1C1与边CA重合,其中点A1与点C重合.将三角板A1B1C1绕点C(A1)按逆时针方向旋转,旋转过的角为α,旋转过程中边A1C1与边AB的交点为M,设AC=a.
(1)计算A1C1的长;
(2)当α=30°时,证明:B1C1∥AB;
(3)若a=,当α=45°时,计算两个三角板重叠部分图形的面积;
(4)当α=60°时,用含a的代数式表示两个三角板重叠部分图形的面积.
(参考数据:sin15°=,cos15°=,tan15°=2﹣,sin75°=,cos75°=,tan75°=2+)
【答案】(1)A1C1=;(2)见解析;(3)两个三角板重叠部分图形的面积=3+3;(4)两个三角板重叠部分图形的面积=.
【解析】
(1)在Rt△ABC中,由特殊锐角三角函数值,先求得BC的长,然后在Rt△A1B1C1中利用特殊锐角三角函数即可求得A1C1的长;
(2)利用三角形的外角的性质求得∠BMC=90°,然后利用同位角相等,两直线平行进行判定即可;
(3)两个三角板重叠部分图形的面积=△A1B1C1的面积-△BC1M的面积;
(4)两个三角板重叠部分图形的面积=.
(1)在Rt△ABC中,∠B=30°,AC=a,
由特殊锐角三角函数可知:,
∴BC=.
∴B1 A1=
在Rt△A1B1C1,∠B1=∠45°,
∴.
∴A1C1=.
(2)∵∠ACM=30°,∠A=60°,
∴∠BMC=90°.
∴∠C1=∠BMC.
∴B1C1∥AB.
(3)如下图:
由(1)可知:A1C1===3+
∴△A1B1C1的面积=
∵∠A1B1C1=45°,∠ABC=30°
∴∠MBC1=15°
在Rt△BC1M中,C1M=BC1tan15°=(3+)(2﹣)=3﹣,
∴Rt△BC1M的面积==(3+)(3﹣)=3.
∴两个三角板重叠部分图形的面积=△A1B1C1的面积﹣△BC1M的面积=3+3.
(4)由(1)可知:BC=,A1C1=,
∴C1F=A1C1tan30°=a,
∴=×a×a=
∵∠MCA=60°,∠A=60°,
∴∠AMC=60°
∴MC=AC=MA=a.
∴C1M=C1A1﹣MC=.
∵∠MCA=60°,
∴∠C1A1B=30°,
∴∠C1MD=∠B+∠C1A1B=60°
在Rt△DC1M中,由特殊锐角三角函数可知:C1D=C1Mtan60°=a,
∴=C1MC1D=a2,
两个三角板重叠部分图形的面积=a2
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【题目】如图,AD平分∠BAC,AB=AC,连接BC,交AD于点E,下列说法正确的有( )
①∠BAC=∠ACB;②S四边形ABDC=ADCE;③AB2+CD2=AC2+BD2;④AB﹣BD=AC﹣CD.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】如图,CE是ABCD的边AB的垂直平分线,垂足为点O,CE与DA的延长线交于点E.连接AC,BE,DO,DO与AC交于点F,则下列结论:
①四边形ACBE是菱形;
②∠ACD=∠BAE;
③AF:BE=2:3;
④S四边形AFOE:S△COD=2:3.
其中正确的结论有_____.(填写所有正确结论的序号)
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【题目】已知,如图,在矩形ABCD中,,,点E为线段AB上一动点不与点A、点B重合,先将矩形ABCD沿CE折叠,使点B落在点F处,CF交AD于点H,若折叠后,点B的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上,则AE的长是______.
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【题目】已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1,把正方形放在正六边形中,使OK边与AB边重合,如图所示:按下列步骤操作:将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转,使KM边与BC边重合,完成第一次旋转;再绕点C顺时针旋转,使MN边与CD边重合,完成第二次旋转……连续经过六次旋转.在旋转的过程中,当正方形和正六边形的边重合时,点B,M间的距离可能是( )
A. 0.5B. 0.7C. ﹣1D. ﹣1
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【题目】为了开展阳光体育运动,坚持让中小学生“每天锻炼一小时”,体育局做了一个随机调查,调查内容是:每天锻炼是否超过1h及锻炼未超过1h的原因.他们随机调查了340名学生,用所得的数据制成了扇形统计图和频数分布直方图(图1、图2).
根据图示,请回答以下问题:
(1)“没时间”的人数是 ,并补全频数分布直方图;
(2)2015年全市中小学生约18万人,按此调查,可以估计2015年全市中小学生每天锻炼超过1h的约有 万人;
(3)在(2)的条件下,如果计划2017年全市中小学生每天锻炼未超过1h的人数减少到8.64万人,求2015年至2017年锻炼未超过1h人数的年平均降低的百分率.
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【题目】(本题满分8分)“切实减轻学生课业负担”是我市作业改革的一项重要举措.某中学为了解本校学生平均每天的课外作业时间,随机抽取部分学生进行问卷调查,并将调查结果分为A、B、C、D四个等级.A:1小时以内,B:1小时-1.5小时,C:1.5小时-2小时,D:小时以上.根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.请根据图中信息解答下列问题:
(1)该校共调查了_________名学生;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)表示等级A的扇形圆心角的度数是____________;
(4)在此次问卷调查中,甲、乙两班各有2人平均每天课外作业时间都是2小时以上,从这4人中任选2人去参加座谈,用列表或树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率.
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【题目】如图,在中,,平分交于点,为上一点,经过点,的分别交,于点,,连接交于点.
(1)求证:是的切线;
(2)设,,试用含的代数式表示线段的长;
(3)若,,求的长.
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【题目】已知:如图,抛物线交x轴于A(-2,0),B(3,0)两点,交y轴于点C(0,6).
(1)写出a,b,c的值;
(2)连接BC,点P为第一象限抛物线上一点,过点A作AD⊥x轴,过点P作PD⊥BC于交直线AD于点D,设点P的横坐标为t,AD长为h.
①求h与t的函数关系式和h的最大值(请求出自变量t的取值范围);
②过第二象限点D作DE∥AB交BC于点E,若DP=CE,时,求点P的坐标.
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