Question

【题目】已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A、B（A左B右），且AB＝4，与y轴交于C点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，证明：对于任意给定的一点P（0，b）（b＞3），存在过点P的一条直线交抛物线于M、N两点，使得PM＝MN成立；

（3）将该抛物线在0≤x≤4间的部分记为图象G，将图象G在直线y＝t上方的部分沿y＝t翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n≤6，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）详见解析；（3）﹣2≤t≤1．

【解析】

（1）抛物线y＝ax2﹣2ax+3的对称轴为x＝1，又AB＝4，由对称性得A（﹣1，0）、B（3，0），即可求解；

（2）证明△PMG≌△NMH（AAS），yG+yH＝2yM，即可求解；

（3）分当D′在点H（4，-5）上方、点D′在点H（4，-5）下方两种情况，分别求解即可．

解：（1）抛物线y＝ax2﹣2ax+3的对称轴为x＝1，又AB＝4，由对称性得A（-1，0）、B（3，0）．

把A（-1，0）代入y＝ax2﹣2ax+3，得a+2a+3＝0，∴a＝-1．

∴抛物线的解析式为y＝-x2+2x+3．

（2）如图，过M作GH⊥x轴，PG∥x轴，NH∥x轴，

由PM＝MN，则△PMG≌△NMH（AAS），

∴PG＝NH，MG＝MH．

设M（m，-m2+2m+3），则N（2m，-4m2+4m+3），

∵P（0，b），GM＝MH，

∴yG+yH＝2yM，

即b+（-4m2+4m+3）＝2（-m2+2m+3），∴2m2＝b-3，

∵b＞3，

∴关于m的方程总有两个不相等的实数根，

此即说明了点M、N存在，并使得PM＝MN．证毕；

（3）图象翻折前后如右图所示，其顶点分别为D（1，4）、D′（1，2t﹣4）．

①当D′在点H（4，-5）上方时，

2t﹣4≥-5，∴t≥-，

此时，m＝t，n＝-5，∵m-n≤6，∴t+5≤6，∴t≤1，

∴-≤t≤1；

②当点D′在点H（4，-5）下方时，

同理可得：t＜-，m＝t，n＝2t-4，

由m-n≤6，得t-（2t-4）≤6，

∴t≥-2，∴-2≤t＜-．

综上所述，t的取值范围为：﹣2≤t≤1．