Question

附加题：已知x₁，x₂是方程x²-x-3=0的两个根，求x₁²+x₂²的值．
解：根据根与系数的关系得x₁+x₂=1，x₁-x₂=-3
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=1²-2×（-3）=7．
请根据解题过程中体现的数学方法解决下面的问题：
已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．试问：k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

Answer 1

【答案】分析：先根据根与系数的关系，用k表示出两边之积与两边之和的值；再利用勾股定理求出k的值，然后将k值代入后解方程，最后还要验根．
解答：解：设边AB=a，AC=b．
∵a、b是方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两根
∴a+b=2k+3，ab=k²+3k+2
又∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC=5
∴a²+b²=25即（a+b）²-2ab=25
∴（2k+3）²-2（k²+3k+2）=25
∴k²+3k-10=0
∴k₁=-5或k₂=2．
当k=-5时，方程为x²+7x+12=0解得：x₁=-3，x₂=-4（舍去）．
当k=2时，方程为x²-7x+12=0，解得：x₁=3，x₂=4
∴当k=2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
点评：本题重点考查了勾股定理及一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．