练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，已知二次函数y=-x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点精英家教网B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．
    （1）求二次函数的解析式；
    （2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ=m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；
    （3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
    分析：（1）可根据OB、OC的长得出B、C两点的坐标，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
    （2）可将四边形ACPQ分成直角三角形AOC和直角梯形CQPC两部分来求解．先根据抛物线的解析式求出A点的坐标，即可得出三角形AOC直角边OA的长，据此可根据上面得出的四边形的面积计算方法求出S与m的函数关系式．
    （3）先根据抛物线的解析式求出M的坐标，进而可得出直线BM的解析式，据此可设出N点的坐标，然后用坐标系中两点间的距离公式分别表示出CM、MN、CN的长，然后分三种情况进行讨论：①CM=MN；②CM=CN；③MN=CN．根据上述三种情况即可得出符合条件的N点的坐标．
    解答：解：（1）∵OB=OC=3，
    ∴B（3，0），C（0，3）
    ∴
    0=-9+3b+c
    3=c
    ，
    解得
    b=2
    c=3
    1分
    ∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+3；

    （2）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，M（1，4）
    设直线MB的解析式为y=kx+n，
    则有
    4=k+n
    0=3k+n

    解得
    k=-2
    n=6

    ∴直线MB的解析式为y=-2x+6
    ∵PQ⊥x轴，OQ=m，
    ∴点P的坐标为（m，-2m+6）
    S四边形ACPQ=S△AOC+S梯形PQOC=
    1
    2
    AO•CO+
    1
    2
    （PQ+CO）•OQ（1≤m≤3）
    =
    1
    2
    ×1×3+
    1
    2
    （-2m+6+3）•m=-m2+
    9
    2
    m+
    3
    2
    ；

    （3）线段BM上存在点N（
    7
    5
    ，
    16
    5
    ），（2，2），（1+
    		10
    5
    ，4-
    2
    		10
    5
    ）使△NMC为等腰三角形
    CM=
    		(1-0)2+(4-3)2
    =
    		2
    ，CN=
    		x2+(-2x+3)2
    ，MN=
    		(x-1)2+(-2x+2)2

    ①当CM=NC时，
    		x2+(-2x+3)2
    =
    		2
    ，
    解得x1=
    7
    5
    ，x2=1（舍去）
    此时N（
    7
    5
    ，
    16
    5
    ）
    ②当CM=MN时，
    		(x-1)2+(-2x+2)2
    =
    		2
    ，
    解得x1=1+
    		10
    5
    ，x2=1-
    		10
    5
    （舍去），
    此时N（1+
    		10
    5
    ，4-
    2
    		10
    5
    ）
    ③当CN=MN时，
    		x2+(-2x+3)2
    =
    		(x-1)2+(-2x+2)2

    解得x=2，此时N（2，2）．
    点评：本题主要考查二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点、等腰三角形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力．考查学生分类讨论、数形结合的数学思想方法．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，1），直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（
    5
    2
    ，
    13
    4
    ），B点在y轴上，直线与x轴的交点为F，P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于E点．
    （1）求k，m的值及这个二次函数的解析式；
    （2）设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
    （3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在点P，使得以点P、E、D为顶点的精英家教网三角形与△BOF相似？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0）两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
    （1）求此二次函数的解析式，并写出它的对称轴；
    （2）若直线l：y=kx（k＞0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
    （3）若直线l′：y=m与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．
    精英家教网

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+b与该二次函数的图象交于A、B两点，其中点A的坐标为（3，4），点B在y轴上．点P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象交于点E．
    （1）求b的值及这个二次函数的关系式；
    （2）设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
    （3）若点D为直线AB与该二次函数的图象对称轴的交点，则四边形DCEP能否构成平行四边形？如果能，请求出此时P点的坐标；如果不能，请说明理由．
    （4）以PE为直径的圆能否与y轴相切？如果能，请求出点P的坐标；如果不能，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，已知二次函数y=ax2-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点C（0，-5）．
    （1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标．
    （2）在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P（2，-2），连接OP，找出x轴上所有点M的坐标，使得△OPM是等腰三角形．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•衡水一模）如图，已知二次函数y=-
    12
    x2+bx+c    的图象经过A（2，0）、B（0，-6）两点．
    （1）求这个二次函数的解析式；
    （2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积；
    （3）若抛物线的顶点为D，在y轴上是否存在一点P，使得△PAD的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案