Question

阅读下面的材料，然后解答问题．
在一条直线上有依次排列的n（n＞1）台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P，使这几台机床到供应站P的距离总和最小．要解决这个问题，先要“退”到比较简单的情形分析思考．如图直线上有2台机床时，很明显设在A₁和A₂之间任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于A₁到A₂的距离．如图所示，如果上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床A₂处最合适，因为如果P放在A₂处，甲和丙所走的距离之和恰好为A₁到A₃的距离，而如果把P放在别处，例如B处，那么甲和丙所走的距离之和仍然时A₁到A₃的距离，可是乙还得走从A₂到B的这一段，这是多出来的，因此P放在A₂处是最佳选择位置．不难想到如果直线上有4台机床，P应设在与3台之间的任何地方，有5台机床的话，P应设在第3台位置上．
问题：
（1）有n台机床时，P应设在何处？
（2）根据问题1的结论求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2007|取最小值时x的值．

Answer 1

考点：两点间的距离,绝对值

专题：

分析：（1）分n为偶数时，n为奇数时两种情况讨论P应设的位置．
（2）根据绝对值的几何意义，找到1和617正中间的点，即可求出|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2007|的最小值．

解答：解：（1）当n为偶数时，P应设在第

n

2

台和（

n

2

+1）台之间的任何地方，
当n为奇数时，P应设在第

n+1

2

台的位置．

（2）根据绝对值的几何意义，求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-2007|的最小值
就是在数轴上找出表示x的点，使它到表示1，2，3，4…2007各点的距离之和最小，根据问题（1）的结论，当x=

2007+1

2

=1004，即1004时，原式的值最小．

点评：本题需要运用分类讨论思想，主要考查了学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法．