Question

7．如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，在BA的延长线上取一点E，使得ED=EC，ED与AC交于点F，则$\frac{AF}{CF}$的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{5}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 过点D作DG∥AC，交EB于点G，连接AD，则G为AB的中点，∠EAC=∠DGE，得出DG是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出AC=2DG，由等腰三角形和三角形的外角性质证出∠ACE=∠EDG，由AAS证明△ACE≌△GED，得出AE=DG，由等腰三角形得性质和直角三角形斜边上的中线性质得出DG=$\frac{1}{2}$AB=AG=BG，得出AE=AG，由平行线分线段成比例定理得出DG=2AF，因此AC=4AF，即可得出结果．

解答 解：过点D作DG∥AC，交EB于点G，连接AD，如图所示：
∵D为BC中点，DG∥AC，
∴G为AB的中点，∠EAC=∠DGE，
∴DG是△ABC的中位线，
∴AC=2DG，
∵AB=AC，ED=EC，
∴∠B=∠ACB，∠EDC=∠ECD，
∵∠EDC=∠B+∠DEG，∠ECD=∠ACB+∠ACE，
∴∠ACE=∠DEG，
在△ACE和△GED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAC=∠DGE}&{\;}\\{∠ACE=∠DEG}&{\;}\\{EC=ED}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△GED（AAS），
∴AE=DG，
∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴DG=$\frac{1}{2}$AB=AG=BG，
∴AE=AG，
∵DG∥AC，
∴AF：DG=AE：GE=1：2，
即DG=2AF，
∴AC=4AF，
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{1}{3}$；
故选：B．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．