Question

如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且AB∥OP．若阴影部分的面积为10π，则弦AB的长为

 

．

Answer 1

分析：如图，过O点作OD⊥AB，垂足为D，连接PC，AO，设⊙O的半径为R，⊙P的半径为r，由直线与圆相切的性质可知PC=r，又OP∥AB，则OD=PC=r，阴影部分面积可表示为π（R²-r²）=π（AO²-OD²），由已知可求AO²-OD²的值，在Rt△AOD中，由勾股定理可求AD，由垂径定理可知AB=2AD．

解答：解：如图，过O点作OD⊥AB，垂足为D，连接PC，AO，
设⊙O的半径为R，⊙P的半径为r，
∵AB与⊙P相切于C点，
∴PC⊥AB，PC=r，
又OP∥AB，
∴OD=PC=r，
由已知阴影部分面积为10π，得
π（R²-r²）=10π，即R²-r²=10，
∴AO²-OD²=R²-r²=10，
在Rt△AOD中，由勾股定理得AD²=AO²-OD²=10，
即AD=

10

，
由垂径定理可知AB=2AD=2

10

．
故答案为：2

10

．

点评：本题主要考查对切线的性质，垂径定理，勾股定理等知识点的理解和掌握，能求出特殊情况时AC的长度是解此题的关键．