Question

14．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD垂直于过C点的直线，垂足为D，AC平分于∠DAB．
（1）试判断CD与⊙O的位置关系．
（2）若AD=4，AC=5，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线定义求出∠1=∠2，求出∠2=∠3，推出∠1=∠3，求出OC⊥CD，根据切线的判定得出即可；
（2）连BC，求出△AOC∽△BOC，得出比例式，即可求出答案．

解答 解：（1）CD为⊙O的切线，理由如下：
连OC，

∵AC平分于∠DAB，
∴∠1=∠2，
∵OC=OA，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AD∥OC，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD为⊙O的切线；

（2）连BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°
∴∠ACB=∠D，
∵∠1=∠2，
∴△AOC∽△BOC，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
∵AD=4，AC=5，
∴AB=$\frac{25}{4}$，
∴⊙O的半径为$\frac{25}{8}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的性质和判定，圆周角定理的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键．