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    【题目】如图，已知二次函数y＝ax2－4ax＋c的图像交x轴于A、B两点（其中A点在B点的左侧），交y轴于点C（0，3）．

    （1）若tan∠ACO＝，求这个二次函数的表达式；

    （2）若OC为OA、OB的比例中项．

    ①设这个二次函数的顶点为P，求△PBC的面积；

    ②若M为y轴上一点，N为平面内一点，问：是否存在这样的M、N，使得以M、N、B、C为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

    【答案】(1) y＝－x＋x＋3;(2)①；;②见解析.

    【解析】

    （1）根据OC=3，tan∠ACO= ，可知OA的长度，代入点A、C可求出二次函数的表达式．
    （2）①根据OC为OA、OB的比例中项，可推出△ACO∽△BCO，求出B、A的坐标，二次函数的解析式可求，点P的坐标可求，△PBC的面积可求．②分两种情况讨论，再根据相似求出线段长度，再利用平移规律得到点N的坐标．

    解：（1）在Rt△AOC中，C（0，3），tan∠ACO=，
    ∴A（-2，0），
    则有
    解得
    ∴二次函数的表达式为y=-x2+x+3．
    （2）①∵对称轴x=-=2，如图1所示，

    由OC为OA、OB的比例中项可得△AOC∽△COB．
    设点A的坐标为（m，0），则点B的坐标为（4-m，0），
    则OA=-m，OB=4-m，
    ∴，
    解得m1=2+（舍），m2=2-，
    ∴A（2-，0），B（+2），
    则有 ，
    解得

    ∴二次函数的解析式为y=-x2+x+3，
    ∴P（2，），
    设直线BC的解析式为y=kx+b，
    则有 ，
    解得 ，
    ∴直线BC的解析式为y=，

    过点P作y轴的平行线交BC于点Q，
    则Q（2，），
    ∴PQ=，
    ∴S=，

    ②存在，分两种情况．
    情况一：如图2所示，

    此时M于O重合，
    ∴N（+2，3）．
    情况二：如图3所示，

    ∵四边形CBMN为矩形，∴∠CBM=90°，
    ∴∠CBO=∠OMB，
    ∵∠COB=∠BOM，
    ∴△COB∽△BOM，
    ∴，即

    解得OM=，
    ∴M（0，-），
    线段NC可以从BM平移得到，
    点B与点C为对应点，点M与点N为对应点，
    点B向左移动（2+）个单位，向上移动3个单位得到点C，
    ∴点M到点N也是同样得平移规律，
    ∴N（-2-，--）．
    综上，点N的坐标为（+2，3）或（--2，--）

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    【题目】甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y(米)与甲出发的时间x(分)之间的关系如图中折线OA-AB-BC-CD所示．

    (1)求线段AB的表达式，并写出自变量x的取值范围；

    (2)求乙的步行速度；

    (3)求乙比甲早几分钟到达终点？

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    【题目】苏科版九年级下册数学课本91页有这样一道习题：

    （1）复习时，小明与小亮、数学老师交流了自己的两个见解，并得到了老师的认可：

    ①可以假定正方形的边长AB＝4a，则AE＝DE＝2a，DF＝a，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”可以证明△ABE∽△DEF；请结合提示写出证明过程．

    ②图中的相似三角形共三对，而且可以借助于△ABE与△DEF中的比例线段来证明△EBF与它们相似．证明过程如下：

    （2）交流之后，小亮尝试对问题进行了变化，在老师的帮助下，提出了新的问题，请你解答：

    已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC．

    （AB＞AE）

    ①求证：△AEF∽△ECF；

    ②设BC＝2，AB＝a，是否存在a值，使得△AEF与△BFC相似．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．

    （1）求证：ABCD是菱形；

    （2）若AB=5，AC=6，求ABCD的面积．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6．D为BC边一点，且BD∶DC＝1∶2，以D为一个顶点作正方形DEFG，且DE＝BC，连接AE，将正方形DEFG绕点D旋转一周，在整个旋转过程中，当AE取得最大值时AG的长为______．

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    【题目】如图，已知点D在⊙O的直径AB延长线上，点C在⊙O上，过点D作ED⊥AD，与AC的延长线相交于点E，且CD＝DE.

    (1)求证：CD为⊙O的切线；

    (2)若AB＝12，且BC＝CE时，求BD的长．

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    【题目】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）．

    （1）画出△ABC左平移4个单位得到的△A1B1C1，且A1的坐标为　 　；

    （2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2；

    （3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留π）．

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    【题目】2017年9月，我国中小学生迎来了新版“教育部统编义务教育语文教科书”，本次“统编本”教材最引人关注的变化之一是强调对传统文化经典著作的阅读，某校对A《三国演义》、B《红楼梦》、C《西游记》、D《水浒》四大名著开展“最受欢迎的传统文化经典著作”调查，随机调查了若干名学生（每名学生必选且只能选这四大名著中的一部）并将得到的信息绘制了下面两幅不完整的统计图：

    （1）本次一共调查了　 　名学生；

    （2）请将条形统计图补充完整；

    （3）某班语文老师想从这四大名著中随机选取两部作为学生暑期必读书籍，请用树状图或列表的方法求恰好选中《三国演义》和《红楼梦》的概率.

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