Question

如图，已知△AOB与⊙O相切于点C，边OB与⊙O 相交于点D，OD=BD且SinA=

2

5

，AC=

21

（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）根据切线的性质得出CO⊥AB，根据三角函数公式和勾股定理即可求得圆的半径；
（2）根据三角函数公式及勾股定理求得∠BOC=60°，由三角形面积及扇形面积可求出阴影部分面积

解答： 解：（1）连接OC，
∵△AOB与⊙O相切于点C，
∴CO⊥AB，
∵sinA=

OC

AO

=

2

5

，
∵AC=

21

．
∴假设CO=2x，AO=5x，
4x²+21=25x²，
解得：x=1，
∴CO=2，
∴⊙O的半径为2；
（2）∵⊙O的半径为2；
∴DO=2，
∵DO=DB，
∴BO=4，
∴BC=

BO2-CO2

=2

3

，
∴sin∠BOC=

BC

OB

=

2 3

4

=

3

2

，
∴∠BOC=60°，
∴图中阴影部分的面枳为：S_△OCB-S_扇形=

1

2

×2

3

×2-

60π×22

360

=2

3

-

2π

3

．

点评：此题考查了切线的性质以及扇形的面积求法，学生灵活的对切线的性质扇形的面积公式及解直角三角形的综合运用是解题关键．