Question

已知关于x的方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0的两实数根分别为x₁，x₂
（1）求k的取值范围；
（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；
（3）若点A（x₁，x₂）在反比例函数y=

-5

x

的图象上，求满足条件的k的值．

Answer 1

分析：（1）根据题意可得△≥0，代入相应数据进行计算即可；
（2）把x=1代入x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0中可得1-2（k-3）+k²-4k-1=0，再解方程即可；
（3）根据反比例函数图象上点的坐标特点可得x₁x₂=-5，再根据一元二次方程根与系数的关系可得k²-4k-1=-5，再解方程即可．

解答：解：（1）由题意得：△≥0，
[-2（k-3）]²-4×1×（k²-4k-1）≥0，
解得：k≤5；

（2）把x=1代入x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0中：1-2（k-3）+k²-4k-1=0，
解得：k=3±

3

；

（3）∵点A（x₁，x₂）在反比例函数y=

-5

x

的图象上，
∴x₁x₂=-5，
∴k²-4k-1=-5，
解得：k=2．

点评：此题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，一元二次方程的解，关键是掌握一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．