Question

9．如图，已知在平面直角坐标系中，A，B两点在x轴上，线段OA，OB的长分别为方程x²-8x+12=0的两个根（OB＞OA），点C是y轴上一点，其坐标为（0，-3）．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线的关系式；
（3）D是点C关于该抛物线对称轴的对称点，E是该抛物线的顶点，M，N分别是y轴、x轴上的两个动点．
①当△CEM是等腰三角形时，请直接写出此时点M的坐标；
②以D、E、M、N位顶点的四边形的周长是否有最小值？若有，请求出最小值，并直接写出此时点M，N的坐标；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用分解因式法解方程x²-8x+12=0即可得出x的值，再根据OB＞OA即可得出点A、B的坐标；
（2）根据抛物线过x轴上的两点AB，可设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x-6）（a≠0），再由点C的坐标利用待定系数法即可求出经过A，B，C三点的抛物线的关系式；
（3）①设点M的坐标为（0，m），根据抛物线的关系式即可得出点E的坐标，由两点间的距离公式可求出线段CE、CM、ME的长度，再根据等腰三角形的性质分三种情况考虑，由边相等得出关于m的方程，解方程即可得出m值，从而得出点M的坐标；
②作点E关于y轴对称的点E′，作点D关于x轴对称的点D′，连接D′E′交x轴于点N，交y轴于点M，此时以D、E、M、N位顶点的四边形的周长最小．根据点C的坐标可得出点D的坐标，根据对称的性质即可得出点D′、E′的坐标，由此即可求出四边形周长的最小值，再根据点D′、E′的坐标，利用待定系数法即可求出直线D′E′的解析式，由此即可得出点M、N的坐标．

解答 解：（1）∵x²-8x+12=0，
∴（x-2）（x-6）=0，
解得：x₁=2，x₂=6，
∵OB＞OA，
∴OA=2，OB=6，
∴点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（6，0）．
（2）设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x-6）（a≠0），
将C（0，-3）代入得：-3=-12a，
解得：a=$\frac{1}{4}$，
∴经过A，B，C三点的抛物线的关系式为：y=$\frac{1}{4}$（x+2）（x-6）=$\frac{1}{4}$x²-x-3．
（3）①依据题意画出图形，如图1所示．
设点M的坐标为（0，m），
∵抛物线的关系式为y=$\frac{1}{4}$x²-x-3=$\frac{1}{4}$（x-2）²-4，
∴点E（2，-4），
∴CE=$\sqrt{5}$，CM=|m+3|，ME=$\sqrt{4+（m+4）^{2}}$．
△CEM是等腰三角形分三种情况：
当CE=CM时，有$\sqrt{5}$=|m+3|，
解得：m=$\sqrt{5}$-3或m=-$\sqrt{5}$-3，
此时点M的坐标为（0，$\sqrt{5}$-3）或（0，-$\sqrt{5}$-3）；
当CE=ME时，有$\sqrt{5}$=$\sqrt{4+（m+4）^{2}}$，
解得：m=-3（舍去）或m=-5，
此时点M的坐标为（0，-5）；
当CM=ME时，有|m+3|=$\sqrt{4+（m+4）^{2}}$，
解得：m=-$\frac{11}{2}$，
此时点M的坐标为（0，-$\frac{11}{2}$）．
综上可知：当△CEM是等腰三角形时，点M的坐标为（0，$\sqrt{5}$-3）、（0，-$\sqrt{5}$-3）、（0，-5）或（0，-$\frac{11}{2}$）．
②四边形DEMN有最小值．
作点E关于y轴对称的点E′，作点D关于x轴对称的点D′，连接D′E′交x轴于点N，交y轴于点M，此时以D、E、M、N位顶点的四边形的周长最小，如图2所示．
∵点C（0，-3），点E（2，-4），
∴点D（4，-3），DE=$\sqrt{（4-2）^{2}+[-3-（-4）]^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∵E、E′关于y轴对称，D、D′关于x轴对称，
∴EM=E′M，DN=D′N，点E′（-2，-4），点D′（4，3），
∴EM+MN+DN=D′E′=$\sqrt{[4-（-2）]^{2}+[3-（-4）]^{2}}$=$\sqrt{85}$，
∴C_{四边形DEMN}=DE+EM+MN+DN=$\sqrt{5}$+$\sqrt{85}$．
设直线D′E′的解析式为y=kx+b，
则有$\left\{\begin{array}{l}{3=4k+b}\\{-4=-2k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{7}{6}}\\{b=-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线D′E′的解析式为y=$\frac{7}{6}$x-$\frac{5}{3}$．
令y=$\frac{7}{6}$x-$\frac{5}{3}$中x=0，则y=-$\frac{5}{3}$，
∴点M（0，-$\frac{5}{3}$）；
令y=$\frac{7}{6}$x-$\frac{5}{3}$中y=0，则$\frac{7}{6}$x-$\frac{5}{3}$=0，解得：x=$\frac{10}{7}$，
∴点N（$\frac{10}{7}$，0）．
故以D、E、M、N位顶点的四边形的周长有最小值，最小值为$\sqrt{5}$+$\sqrt{85}$，此时点M的坐标为（0，-$\frac{5}{3}$），点N的坐标为（$\frac{10}{7}$，0）．

点评 本题考查了解一元二次方程、待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质以及轴对称中的最短路径问题，解题的关键是：（1）利用分解因式法解方程；（2）利用待定系数法求出函数解析式；（3）①分情况讨论；②找出点M、N的位置．本题属于难题，解题过程较繁琐，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式是关键．