Question

14．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC、DC上，∠EAF=45°，AE，AF分别交BD于G，H，下列结论
（1）EF=BE+DF；
（2）GH²=BG²+HD²；
（3）∠AHE=90°；
（4）若BE=2，CF=3，则S_△AEF=15；
其中正确结论有（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 把△ABE逆时针旋转90°得到△ADG，根据旋转的性质可得BE=GD，AE=AG，再根据∠EAF=45°求出∠FAG=45°，然后利用边角边定理证明△AEF与△AGF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，即EF=GD+FD，即可证明EF=BE+DF；把△ADH绕点A顺时针旋转90°得到△ABN，连接GN，根据旋转的性质得到∠NAE=∠EAF，根据全等三角形的性质得到GH=GN，求得∠NBG=∠ABN+∠ABG=45°+45°=90°，根据勾股定理得到BG²+HD²=GH²；由∠DBC=∠EAF=45°，推出A，B，E，H四点共圆，根据圆内接四边形的性质即可得到∠AHE=90°；设正方形ABCD的边长为a，根据勾股定理得到AD=6，于是得到S_△AEF=S_△AMF=$\frac{1}{2}$×（2+3）×6=15．

解答 解：如图，把△ABE逆时针旋转90°得到△ADM，
∴BE=MD，AE=AM，
∵∠EAF=45°，
∴∠FAM=90°-45°=45°，
∴∠EAF=∠FAM，
在△AEF和△AMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AM}\\{∠EAF=∠FAM}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AMF（SAS），
∴EF=MF，
即EF=MD+DF，
∴BE+DF=EF；故①正确；
如图，把△ADH绕点A顺时针旋转90°得到△ABN，连接GN，
∴BN=DH，AN=AH，∠BAN=∠DAH，∠ABN=∠ADH，
∵∠EAF=45°，
∴∠NAE=∠BAN+∠BAE=∠DAH+∠BAE=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°，
∴∠NAE=∠EAF，
在△ANG和△AGH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AN=AH}\\{∠NAG=∠EAF}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴△AGN≌△AGH（SAS），
∴GH=GN，
在正方形ABCD中，∠ABE=∠ADH=45°，
∴∠NBG=∠ABN+∠ABG=45°+45°=90°，
∴BG²+BN²=NG²，
即BG²+HD²=GH²；故②正确；
∵∠DBC=∠EAF=45°，
∴A，B，E，H四点共圆，
∴∠ABE+∠AHE=180°，
∵∠ABE=90°，
∴∠AHE=90°；故③正确；
设正方形ABCD的边长为a，
∵BE=2，CF=3，
∴CE=a-2，DF=a-3，
∵EF=BE+DF=a-1，
∴（a-2）²+3²=（a-1）²，
∴a=6，
∴AD=6，
∵△AEF≌△AMF，
∴S_△AEF=S_△AMF=$\frac{1}{2}$×（2+3）×6=15；
故④正确．
故选D．

点评 本题考查了正方形的性质、四点共圆、圆周角定理、全等三角形的判定和性质；熟练掌握正方形的性质，证明四点共圆是解决问题的关键．